例1求下列极限
(1)(-) (2)[(-)]
(3)(+++…+) (4)(a≠1)
例2:已知=5,求常数a、b、c的值。
例3.设数列a1,a2,…,an,…的前n项的和Sn和an的关系是,其中b是与n无关的常数,且b≠―1
(1)求an和an-1的关系式; (2)写出用n和b表示an的表达式;(3)当0<b<1时,求极限
例4、已知数例{an}前n项之和Sn=1+kan(k为不是0、1的常数)。
(1)用n,k表示an; (2)若Sn=1,求k的取值范围。
例5、某城市2001年末汽车保有量为30万辆,预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%,并且每年新增汽车数量相同,为保护城市环境,要求该城市汽车保有量不超过60万辆,那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?
备用:某县地处水乡,县政府原计划从今年起填湖围造一部分生产和生活用地。但根据前几年抗洪救灾得到的经验教训和环境保护、生态平衡的要求,准备重新研究修改计划。为了寻求合理的计划方案,需要研究以下问题:(1)若按原计划填湖造地,水面的减少必然导致蓄水能力的下降。为了保证防洪能力不会下降,除了填湖费用外,还需要增加排水设备费用,所需经费与当年所填湖造地的面积x(亩)的平方成正比,其比例系数为a。又知每亩水面的年平均经济收益为b元,填湖造地后的每亩土地的年平均经济收益为c元(其中a,b,c均为常数)。若按原计划填湖造地,且使得今年的收益不小于支出,试求所填面积x的最大值。
(2)如果以每年1%的速度减少填湖造地的新增面积,并为保证水面的蓄洪能力和环保要求,填湖造地的总面积永远不能超过现有水面面积的,求今年填湖造地的面积最多只能占现有水面的百分之几?
解析:(1)收入不小于支出的条件可以表示为:cx-(ax2+bx)≥0
即ax2+(b-c)x≤0,x[ax-(c-b)] ≤0
当c-b≤0时,≤x≤0,此时不能填湖造地
当c-b>0时,0≤x≤,此时所填面积的最大值为亩。
(2)设该县现有水面为m亩,今年填湖造地的面积为x亩,则x+(1-1%)x+(1-1%)2x+…+(1-1%)nx+…≤
不等式左边是无穷等比数列的和,故有≤,即x≤=0.25%m
今年填湖造地的面积最多只能占有水面的0.25%。
[思维点拔]此列应用数极限解决实际问题。
6.等比数列{an}中,a1=-1,前n项和为Sn,若则………………………( )
(A) (B)- (C)2 (D)-2
5.在等比数列中,a1>1,前项和Sn满足,那么a1的取值范围是……………………( )
(A)(1,+∞) (B)(1,4) (C)(1,2) (D)(1,)
4.已知a、b都是实数,且a>0,如果,那么a与b的关系是………………( )
A.a<2b B.-a<2b C.-a<b D.-a<b<
3.已知a、b、c是实常数,且的值是………( )
A. B. C. D.6
2、=_________________
1、= ;=
3、数列极限的运算法则
如果an=A,bn=B,那么(1)(an±bn)=A±B (2)(an·bn)=A·B (3)=(B≠0)
极限不存在的情况是1、;2、极限值不唯一,跳跃,如1,-1,1,-1….
注意:数列极限运算法则运用的前提:
(1)参与运算的各个数列均有极限;
(2)运用法则,只适用于有限个数列参与运算,当无限个数列参与运算时不能首先套用.
2、几个常用极限
①C=C(常数列的极限就是这个常数)
②设a>0,则特别地
③设q∈(-1,1),则qn=0;或不存在。
若无穷等比数列叫无穷递缩等比数列,其所有项的和(各项的和)为:
1、 数列极限定义
(1)定义:设{an}是一个无穷数列,a是一个常数,如果对于预先给定的任意小的正数ε,总存在正整数N,使得只要正整数n>N,就有|an-a|<ε,那么就称数列{an}以a为极限,记作an=a。
对前任何有限项情况无关。
*(2)几何解释:设ε>0,我们把区间(a-ε,a+ε)叫做数轴上点a的ε邻域;极限定义中的不等式|an-a|<ε也可以写成a-ε<an<a+ε,即an∈(a-ε,a+ε);因此,借助数轴可以直观地理解数列极限定义:不论a点的ε邻域怎么小,数列{an}从某一项以后的所有项都要进入这个邻域中,也可以说点a的任意小的ε邻域(a-ε,a+ε)中含有无穷数列{an}的几乎所有的项,而在这个邻域之外至多存在有限个项,由此可以想像无穷数列{an}的项是多么稠密地分布在点a的附近。
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