8、向量的长度和两点间的距离公式：

7、、两个向量的夹角：对于非零向量，，作称为向量，的夹角，当＝0时，，同向，当＝时，，反向，当＝时，，垂直。

向量的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积(或内积或点积)，记作：，即＝。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。

向量数量积的性质：设两个非零向量，。

(5)当，同向时，＝，当与反向时，＝－，当为锐角时，为正且，不同向，≠，当为钝角时，为负且，不反向，≠－。

当为锐角时，＞0，且不同向，是为锐角的必要非充分

条件；当为钝角时，＜0，且不反向，是为钝角的必要非充分条件；。如(1)已知，，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是______(答：或且)；

数量积的的运算律：已知向量实数，下面(1)(2)(3)分别叫做交换律，数乘结合律，分配律。

注意下列式子是错误的：

，

平面向量数量积的坐标表示： ，

空间向量数量积的坐标表示：

5、向量平行的坐标表示：，对空间向量

　 6、空间直线的向量参数方程　如图：A，B，P三点共线

= 特别当t=时　此时P为AB的中点。O为空间任一点。即　　　 P、A、B三点共线

4、平面向量的基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线的向量，那么对这一平面内的任一向量存在唯一的一对有序实数使成立，不共线向量，表示这一平面内所有向量的一组基底。

3、向量共线定理：与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得＝()，

2、向量加法：设

作向量的加法有“三角形法则”和“平行四边形法则”，其中“平行四边形法则”只适用于不共线的向量。

作向量减法有“三角形法则”：设由减向量和终点指向被减向量和终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。

1、向量：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，有向线段的长度叫向量的模，注意不能说向量就是有向线段。长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的。长度为一个单位长度的向量叫做单位向量，常用表示。。表示∠BAC的角平分线上的向量，共线向量(也叫平行向量)：方向相同或相反的非零向量，平行于，记作：∥，

规定零向量和任何向量平行。注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等。表示共线向量的有向线段不一定在同一直线上，向量可以平移。

共线向量的方向不一定相同或相反，因为零向量的方程是任意的。

相反向量；长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。

6、关于三角函数的周期：

(1)一般先化为：

(2) 绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。 如的周期都是, 的周期不变；

第十六讲平面向量与空间向量

5．三角函数的值域的求法：(1)y=asinx+b(或y=acosx+b)型，利用，即可求解，此时必须注意字母a的符号对最值的影响。

(2)y=asinx+bcosx型，引入辅助角　，化为y=sin(x+),利用函数即可求解。Y=asinx+bsinxcosx+mcosx+n型亦可以化为此类。

(3)y=asinx+bsinx+c(或y=acosx+bcosx+c)，型，可令t=sinx(t=cosx),-1≤t≤1,化归为闭区间上二次函数的最值问题。

(4)Y=(或y=)型，解出sinx(或cosx),利用去解；或用分离常数的方法去解决。

(5)y=(y=)型，可化归为sin(x+)g(y)去处理；或用万能公式换元后用判别式去处理；当a=c时，还可利用数形结合的方法去处理上。

(6)对于含有sinx±cosx,sinxcosx的函数的最值问题，常用的方法是令sinx±cosx=t,,将sinxcosx转化为t的函数关系式，从而化为二次函数的最值问题。

4、反三角函数的定义：(1)反正弦：在闭区间上符合条件sinx=a(-1≤a≤1)的角x，叫做实数a的反正弦，记作arcsina,即x=arcsina,其中，且a=sinx.注意arcsina表示一个角，这个角的正弦值为a,且这个角在内(-1≤a≤1)

(2)反余弦：在闭区间上，符合条件的角x，叫做实数a的反余弦，记作arccosa,即x=arccosa,其中x.

(3)反正切：在开区间(－，)内，符合条件tanx=a(a为实数)的角x，叫做实数a的反正切，记做arctana,即x=arctana,其中

反三角函数的性质：(1)sin(arcsina)=a, (-1≤a≤1),cos(arccosa)=0, (-1≤a≤1),

tan(arctana)=a,(2)arcsin(-a)=-arcsina,arccos(-a)=-arccosa,arctan(-a)=-arctana,

(3)arcsina+arccosa=,(4) arc sin (sinx)=x,只有当x在内成立。同理arccos(cosx)=x只有当x在闭区间上成立。