15．用数字0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的四位数．

(1)可组成多少个不同的四位数？

(2)可组成多少个不同的四位偶数？

(3)可组成多少个能被3整除的四位数？

解：(1)直接法：A·A＝300；

间接法：A－A＝300.

(2)由题意知四位数个位数上必须是偶数；同时暗含了首位不能是0，因此该四位数的个位和首位是“特殊位置”，应优先处理；另一方面，0即是偶数，又不能排在首位，属“特殊元素”应重点对待．

解法一：(直接法)0在个位的四位偶数有A个；0不在个位时，先从2,4中选一个放在个位，再从余下的四个数(不包括0)中选一个放在首位，应有A·A·A个．

综上所述，共有A+A·A·A＝156(个)．

解法二：(间接法)从这六个数字中任取四个数字组成最后一位是偶数的排法，有A·A，其中第一位是0的有A·A个，故适合题意的数有A·A－A·A＝156(个)．

(3)各位数字之和是3的倍数的数能被3整除，符合题意的有：

①含0,3则需1,4和2,5各取1个，

可组成C·C·C·A；

②含0或3中一个，均不符合题意；

③不含0,3，由1,2,4,5可组成A个．

所以共有C·C·C·A+A＝96(个)．

14．一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球．

(1)从中任取4个，使红球的个数不比白球少，这样的取法有多少种？

(2)若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从口袋中取5个球，使总分不小于7的取法有多少种？

解：(1)从中任取4个，使红球的个数不比白球少的方法可分为三类：

第一类：红球取4个的方法有C；

第二类：红球取3个，白球取1个的方法有C·C；

第三类：红球取2个，白球取2个的方法有C·C.

由加法原理可知，共有取法C+CC+CC＝115种．

(2)设取红球x个，取白球y个，依题意可知：

且0≤x≤4,0≤y≤6，解得

这样把总分不小于7的取法可以分为三类：

第一类：红球取2个，白球取3个的方法有CC；

第二类：红球取3个，白球取2个的方法有CC；

第三类：红球取4个，白球取1个的方法有CC.

由加法原理，满足条件的取法共有CC+CC+CC＝186种．

13．男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人．选派5人外出比赛．在下列情形中各有多少种选派方法？

(1)男运动员3名，女运动员2名；

(2)至少有1名女运动员；

(3)队长中至少有1人参加；

(4)既要有队长，又要有女运动员．

解：(1)第一步：选3名男运动员，有C种选法．

第二步：选2名女运动员，有C种选法．

共有C·C＝120种选法．

(2)解法一：至少1名女运动员包括以下几种情况：

1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．

由分类计数原理可得总选法数为

CC+CC+CC+CC＝246种．

解法二：“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”可用间接法求解．

从10人中任选5人有C种选法，其中全是男运动员的选法有C种．

所以“至少有1名女运动员”的选法为C－C＝246种．

(3)解法一：可分类求解：

“只有男队长”的选法为C；

“只有女队长”的选法为C；

“男、女队长都入选”的选法为C；

所以共有2C+C＝196种选法．

解法二：间接法：

从10人中任选5人有C种选法，

其中不选队长的方法有C种．所以“至少1名队长”的选法为C－C＝196种．

(4)当有女队长时，其他人任意选，共有C种选法．不选女队长时，必选男队长，共有C种选法．其中不含女运动员的选法有C种，所以不选女队长时的选法共有C－C种选法．

所以既有队长又有女运动员的选法共有

C+C－C＝191种．

12．某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，求该外商不同的投资方案有多少种？

解：可先分组再分配，据题意分两类，一类：先将3个项目分成两组，一组有1个项目，另一组有2个项目，然后再分配给4个城市中的2个，共有CA种方案；另一类1个城市1个项目，即把3个元素排在4个不同位置中的3个，共有A种方案．由分类计数原理可知共有CA+A＝60种方案．

11．某校开设9门课程，供学生选修，其中A、B、C 三门由于上课时间相同，至多选1门，学校规定，每位同学选修4门，共有__________种不同的选修方案．(用数字作答)．

答案：75

解析：第一类：从A、B、C 三门选一门有C·C＝60种，第二类：从其它六门选4门有C＝15种，

∴共有60+15＝75种不同的方法．

10．将数字1,2,3,4,5,6 排成一列，记第i个数为a_i，(i＝1,2,3,4,5,6)，若a₁≠1，a₃≠3，a₅≠5，且a₁<a₃<a₅，则不同的排列方法有__________种．(用数字作答)

答案：30

解析：由题设知a₅必为6.

第一类：当a₁＝2时，a₃可取4、5，∴共有2A＝12种；

第二类：当a₁＝3时，a₃可取4、5，∴共有2A＝12种；

第三类：当a₁＝4时，a₃必取5，∴有A＝6种．

∴共有12+12+6＝30种．

9．(2009·北京市东城区)6个人分乘两辆不同的出租车，如果每辆车最多能乘4个人，则不同的乘车方案有________种．

答案：50

解析：由题意可知将6个人分为两组有4,2；3,3两种分组方式，若分组为4,2，则不同的乘车方案有CA＝30种，若分组为3,3，则不同的乘车方案有×A＝20种，综上可得不同的乘车方案共有30+20＝50种．

8．(2009·吉林省质检)A、B、C、D、E 5人争夺一次比赛的前三名，组织者对前三名发给不同的奖品，若A获奖，B不是第一名，则不同的发奖方式共有(　)

A．72种　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．30种

C．24种　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．14种

答案：B

解析：解答本题注意正确的分类，若A获奖且是第一名时，第二名和第三名由其他四人得有A种可能，若A获奖且不是第一名时，第一名只能由C，D，E三个人得，然后A获奖有2种可能，再由其他3个人选1个获得剩下的奖品，此时有3×2×3＝18种可能，故共有A+18＝30种发奖方式．故选B.

7．(2009·西安八校)从3名男生和3名女生中选出3人分别担任语文、数学、英语的课代表，要求至少有1名女生，则不同的选派方案共有(　)

A．19种　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．54种

C．114种 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．120种

答案：C

解析：从6个人中选出3人有C＝20种不同的选法，其中不选女生只有一种方法，则选3个人分别担任不同的课代表且至少有一名女生的不同选派方案共有(20－1)A＝114种．故选C.

6．(2008·杭州十中)将4名实习老师分配到高一年级的3个班级实习，每班至少1名，则不同的分配方案有(　)

A．6种　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．12种

C．24种　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．36种

答案：D

解析：先将4名实习教师无序分成3组，然后在3个班级全排列，则不同的分配方案有CA＝36，故选D.