2009年安徽省合肥市高三第一次教学质量检测
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数学（理科）试题学科网学科网
（考试时间：120分钟，满分150分）学科网学科网
一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只
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有一项是符合题目要求的，）
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1．不等式
的解集为 
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A．
B．
C．
D．
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2．复数
的共轭复数
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A．
B．
C．
D．
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3．曲线
上到直线
距离等于1的点的个数为 学科网学科网
A．1
B．学科网学科网
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4．已知
，则
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A．
B．
C．
D．
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5．已知
是等差数列
的前n项和，
并且
，若
对
恒成立，则正整数k构成集合为 学科网学科网
A．
B．
C．
D．
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6．将A．B．C．D．Ｅ排成一列，要求A．B．C在排列中顺序为“A．B．C”或“C．B．A”（可以不相邻），这样的排列数有（ ）种。学科网学科网
A．12 B．学科网学科网
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7．已知命题：“若
则
”是真命题，则下面对
的判断正确的是 学科网学科网
A．
与
一定共线 B．与一定不共线 学科网学科网
C．与一定垂直 D．与中至少有一个为０学科网学科网
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8．一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体学科网学科网
的体积是学科网学科网
A．3 B．
C．2 D．
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9．平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为学科网学科网
A．
B．
C．
D．
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10．曲线
与直线
及x轴所围成的区域的面积是 学科网学科网
A．
B．
C．
D．
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11．如图，该程序运行后输出的结果为 学科网学科网
A．14 B．学科网学科网
12．函数
在
上单调，则a学科网学科网
的取值范围是 学科网学科网
A．
B．
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C．
D．
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二．填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上）
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13．
展开式中的常数项为___________.学科网学科网
14．写出命题：“对任意实数m，关于x的方程x2+x+m = 0有实根”的否定为：___________________学科网学科网
15．以等腰直角△ABC的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为________.学科网学科网
16．观察下表的第一列，填空学科网学科网
等差数列中
正项等比数列
前n项和
前n项积
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三．解答题（本大题共6个小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）学科网学科网
17．（本小题满分12分）学科网学科网
已知函数
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（1）求函数
的最小正周期和最值；学科网学科网
（2）图像与其上点P经平移后分别得到函数
图像与点Q，并且函数是奇函数，当
取最小值时，求
以及
18．（本小题满分12分）
已知数列的前n 项和是，满足
（1）求数列的前n项和；
（2）求证：
19．（本小题满分12分）
某考生参加一所大学自主招生考试，面试时从一道数学题，一道自然科学类题，两道社科类题中任选两道回答，该生答对每一道数学．自然科学．社科类试题的概率依次为0.7．0.8．0.9.
（1）求该考生恰好抽到两道社科类试题并都答对的概率；
（2）求该考生在这次面试中答对试题个数
的数学期望。
20．（本小题满分12分）
如图，O 是半径为2的球的球心，点A．B．C在球面上，OA．OB．OC两两垂直，E．F分别是大圆的弧AB与AC的中点。
（1）
求证：EF//面OBC；
（2） 求多面体OAEBCF的体积；
（3）
建立适当的空间直角坐标系，求
的坐标，
并求异面直线OF和CE的夹角的余弦值。
21．（本小题满分12分）
已知函数
且e为自然对数的底数）。
（1）求
的导数，并判断函数的奇偶性与单调性；
（2）是否存在实数t，使不等式
对一切
都成立，若存在，求出t；若不存在，请说明理由。
22．（本小题满分14分）
设A．B为椭圆上
的两个动点。
（1）若A．B满足
，其中O为坐标原点，求证：
为定值；
（2）若过A．B的椭圆的两条切线的交点在直线x+2y=5上，求证直线AB恒过一个定点。
一．选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
D
C
B
C
C
B
D
B
C
B
A
二．填空题：
13．
14．存在实数m，关于x的方程x2+x+m = 0没有实根
15．
或
16．
（2）
，记
∴ 
①
②
①
②：
∴
，即
………12分
19．（1）
………4分
（2）
，
………6分
同理：
………10分
21．（1）∵
∴
∵
对
恒成立，∴
在上是增函数
又∵
的定义域为R关于原点对称，
∴
是奇函数。……6分
（2）由第（1）题的结论知：在上是奇函数又是增函数。
∴
对一切
都成立，
对一切都成立，应用导数不难求出函数
在上的最大值为
对一切都成立
………10分
或
……12分
再由点A在椭圆上，得过A的切线方程为
……8分
同理过B
的切线方程为：
，设两切线的交点坐标为
，则：
，即AB的方程为：
，又
，消去
，得：
直线AB恒过定点
。
…………14分
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