2.答案：D

解析：设=(x，y)，=(3，1)，=(－1，3)，α=(3α，α)，

β=(－β，3β)

又α+β=(3α－β，α+3β)

∴(x，y)=(3α－β，α+3β)，∴

又α+β=1　 因此可得x+2y=5

评述：本题主要考查向量法和坐标法的相互关系及转换方法.

1.答案：D

解析：因为(a·b)c=|a|·|b|·cosθ·c而a(b·c)=|b|·|c|·cosα·a而c方向与a方向不一定同向.

评述：向量的积运算不满足结合律.

29.(1995上海，21)如图5-13在空间直角坐标系中BC=2，原点O是BC的中点，点A的坐标是(，0)，点D在平面yOz上，且∠BDC=90°，∠DCB=30°.

(1)求向量的坐标；

(2)设向量和的夹角为θ，求cosθ的值.

●答案解析

28.(1999上海，20)如图5-12，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，且PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°角.

(1)若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD；

(2)求异面直线AE与CD所成角的大小.

27.(2000全国理，18)如图5-11，已知平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形且∠C₁CB=∠C₁CD=∠BCD=60°.

(1)证明：C₁C⊥BD；

(2)假定CD=2，CC₁=，记面C₁BD为α，面CBD为β，求二面角α-BD-β的平面角的余弦值；

(3)当的值为多少时，能使A₁C⊥平面C₁BD？请给出证明.

26.(2000天津、江西、山西)如图5-10所示，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA₁=2，M、N分别是A₁B₁、A₁A的中点.

(1)求的长；

(2)求cos< >的值；

(3)求证：A₁B⊥C₁M.

25.(2000上海，18)如图5-9所示四面体ABCD中，AB、BC、BD两两互相垂直，且AB=BC=2，E是AC中点，异面直线AD与BE所成的角的大小为arccos，求四面体ABCD的体积.

图5-9　　　　 图5-10　　　　　 图5-11

24.(2000上海春，21)四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一个平行四边形， ={2，－1，－4}，={4，2，0}，={－1，2，－1}.

(1)求证：PA⊥底面ABCD；

(2)求四棱锥P-ABCD的体积；

(3)对于向量a={x₁，y₁，z₁}，b={x₂，y₂，z₂}，c={x₃，y₃，z₃}，定义一种运算：

(a×b)·c=x₁y₂z₃+x₂y₃z₁+x₃y₁z₂－x₁y₃z₂－x₂y₁z₃－x₃y₂z₁，试计算(×)·的绝对值的值；说明其与四棱锥P-ABCD体积的关系，并由此猜想向量这一运算(×)·的绝对值的几何意义.

23.(2001上海)在棱长为a的正方体OABC-O′A′B′C′中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE=BF.如图5-8.

(1)求证：A′F⊥C′E.

(2)当三棱锥B′-BEF的体积取得最大值时，求二面角B′-EF-B的大小(结果用反三角函数表示)

22.(2001上海春)在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E、F分别在BB₁、DD₁上，且AE⊥A₁B，AF⊥A₁D.

(1)求证：A₁C⊥平面AEF；

(2)若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角(或直角).则在空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等.

试根据上述定理，在AB=4，AD=3，AA₁=5时，求平面AEF与平面D₁B₁BD所成角的大小.(用反三角函数值表示)