题目列表(包括答案和解析)

 0  447051  447059  447065  447069  447075  447077  447081  447087  447089  447095  447101  447105  447107  447111  447117  447119  447125  447129  447131  447135  447137  447141  447143  447145  447146  447147  447149  447150  447151  447153  447155  447159  447161  447165  447167  447171  447177  447179  447185  447189  447191  447195  447201  447207  447209  447215  447219  447221  447227  447231  447237  447245  447348 

5. 某地为了防止水土流失,植树造林,绿化荒沙地,每年比上一年多植相同亩数的林木,但由于自然环境和人为因素的影响,每年都有相同亩数的土地沙化,具体情况为下表所示:

 
1998年
1999年
2000年
新植亩数
1000
1400
1800
沙地亩数
25200
24000
22400

而一旦植完,则不会被沙化.

问:(1)每年沙化的亩数为多少?

  (2)到那一年可绿化完全部荒沙地?

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4.  设数列的前n项和为,令,称为数列,……,的“理想数”,已知数列,……,的“理想数”为2004,那么数列2, ,……,的“理想数”为

(A) 2002      (B) 2004       (C) 2006         (D) 2008

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3. 2003年12月,全世界爆发"禽流感",科学家经过深入的研究,终于发现了一种细菌M在杀死"禽流感"病毒N的同时能够自身复制.已知1个细菌M可以杀死1个病毒N,并且生成2个细菌M,那么1个细菌M和2048个"禽流感"病毒N最多可生成细菌M的数值是                                  ( )

(A)1024      (B)2048    (C) 2049    (D)无法确定

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2.  若等比数列的各项均为正数,前项之和为,前项之积为,前项倒数之和为,则                                    (   )

(A)=    (B)     (C)  (D)

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10. (1)假设有两个不同的点(),()对应同一函数,即相同,

对一切实数x均成立。

特别令x=0,得a=c;令,得b=d这与(a,b),(c,d)是两个不同点矛盾,假设不成立.

故不存在两个不同点对应同函数。

(2)当时,可得常数a0b0,使

由于为常数,设是常数.

从而

(3)设,由此得

()

在映射F下,的原象是(m,n),则M1的原象是

消去t得,即在映射F下,M1的原象是以原点为圆心,为半径的圆.

第二讲      数列

陕西特级教师    安振平

l     高考风向标

数列的概念.等差数列及其通项公式、前n项和公式;等比数列及其通项公式、前n项和公式.数学归纳法及其应用.通项与前n项和之间的关系是高考常考的热点内容,递推数列在各地的高考中闪亮登场.

l     典型题选讲

例1 若数列{an}满足,则的值为     (  )

A.       B.      C.        D.

    讲解 逐步计算,可得

,

这说明数列{an}是周期数列,, 所以.应选B.

    点评 分段数列问题是一种新问题,又涉及到周期数列,显示了以能力立意,题活而不难的特色.

例2 在等比数列{an}中,前n项和为Sn,若Sm,Sm+2,Sm+1成等差数列,则am, am+2, am+1成等差数列.

  (1)写出这个命题的逆命题;

(2)判断逆命题是否为真,并给出证明.

讲解 (1)逆命题:在等比数列{an}中,前n项和为Sn,若am, am+2, am+1成等差数列,则 Sm,Sm+2,Sm+1成等差数列.

  (2)设{an}的首项为a1,公比为q

     由已知得2am+2= am + am+1    ∴2a1qm+1=a1+a1qm

     ∵a1≠0  q≠0 ,

∴2q2-q-1=0 ,

  ∴q=1或q=-.

当q=1时,

∵Sm=ma1, Sm+2= (m+2)a1,Sm+1= (m+1)a1

∴Sm+Sm+1≠2 Sm+2,

  ∴Sm,Sm+2,Sm+1不成等差数列.

当q=-时,

2 Sm+2=,

∴Sm+Sm+1=2 Sm+2 ,      

∴Sm,Sm+2,Sm+1成等差数列.

综上得:当公比q=1时,逆命题为假;

     当公比q≠1时,逆命题为真.

点评 对公比进行分类是本题解题的要害所在,问题好在分类,活在逆命题亦假亦真二者兼顾,可谓是一道以知识呈现、能力立意的新颖试题.

例3 设数列{an}前n的项和为 Sn,且其中m为常数,

  (1)求证:{an}是等比数列;

  (2)若数列{an}的公比满足q=f(m)且,为等差数列,并求

讲解(1)由,得

两式相减,得

是等比数列.

   

点评 为了求数列的通项,用取"倒数"的技巧,得出数列的递推公式,从而将其转化为等差数列的问题.

例4 设数列的前n项和为Sn,若是首项为S1各项均为正数且公比为q的等比数列.

   (1)求数列的通项公式(用S1和q表示);

   (2)试比较的大小,并证明你的结论.

    讲解 (1)∵是各项均为正数的等比数列,

当n=1时,a1=S1; 

(2)当n=1时,

      

①当q=1时,

②当

③当

综上以上,我们可知:当n=1时,.当

  若

点评 数列与比较大小的综合是高考命题的一个老话题,我们可以找到较好的高考真题.本题求解当中用到之间的关系式:

           

例5 已知数列满足>0,且对一切n∈N*,有

(1) 求证:对一切n∈N*,有

(2) 求数列的通项公式;

(3) 求证:

讲解  (1) 由       ①

得          ②

②-①得  =(Sn+1+Sn)(Sn+1-Sn)=(2 Sn+an+1) an+1

an+1 >0, 

 ∴ . 

(2)    由,得

 (n≥2),

两式相减,得

(an+1+ an)( an+1 - an)= an+1+ an

an+1+ an >0,

an+1 - an =1.(n≥2)

当n=1,2时易得,a1=1,a2=2,∴an+1 - an =1(n≥1) .

从而{ an}是等差数列,其首项为a1=1,公差d=1,故an=n

(3) 

 点评 关于数列不等式的证明,常用的技巧是放缩法,而放缩应特别注意其适度性,不可过大,也不可过小.

例6  如图,一粒子在区域上运动,在第一秒内它从原点运动到点,接着按图中箭头所示方向在x轴、y轴及其平行方向上运动,且每秒移动一个单位长度.

(1)设粒子从原点到达点时,所经过的时间分别为,试写出的通相公式;

(2)求粒子从原点运动到点时所需的时间;

(3)粒子从原点开始运动,求经过2004秒后,它所处的坐标.

讲解 (1) 由图形可设,当粒子从原点到达时,明显有

          

     

   

…       …       

  

  ∴,

   .

,

,

,

.               

(2)有图形知,粒子从原点运动到点时所需的时间是到达点所经过得时间 再加(44-16)=28秒,所以秒.

(3)由2004,解得,取最大得n=44,

经计算,得=1980<2004,从而粒子从原点开始运动,经过1980秒后到达点,再向左运行24秒所到达的点的坐标为(20,44).

点评 从起始项入手,逐步展开解题思维.由特殊到一般,探索出数列的递推关系式,这是解答数列问题一般方法,也是历年高考命题的热点所在.

例7 已知数列的前项和满足.

(1)写出数列的前三项

(2)求数列的通项公式;

(3)证明:对任意的整数,有 .

讲解 (1)为了计算前三项的值,只要在递推式中,对取特殊值,就可以消除解题目标与题设条件之间的差异.

 由

(2)为了求出通项公式,应先消除条件式中的.事实上

时,有

 

即有 

从而 

  

  …… 

接下来,逐步迭代就有

    

经验证a1也满足上式,故知

其实,将关系式和课本习题作联系,容易想到:这种差异的消除,只要对的两边同除以,便得

     

就有

于是    

这说明数列是等比数列,公比 首项,从而,得

   

即  

    故有

(3)由通项公式得

且n为奇数时, 

                

为偶数时,

为奇数时,为偶数,可以转化为上面的情景

故任意整数m>4,有

点评 本小题2004年全国(旧教材版)高考理科压轴试题.主要考查数列的通项公式,等比数列的前n项和以及不等式的证明.考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.当中的第2小题,显然与课本上的问题有着相同的本质.而第3小题又有着明显的高等数学的背景,体现了知识与技能的交汇,方法与能力的提升,显示了较强的选拔功能.

l     针对性演练

1 某人要买房,随着楼层的升高,上下楼耗费的精力增多,因此不满意度升高,当住第n层楼时,上下楼造成的不满意度为n,但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随楼层升高环境不满意度降低,设住第n层楼时,环境不满意度为,则此人应选(   )

(A)  1楼       (B) 2楼     (C)  3楼       (D)  4楼

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9.(I)令

依条件(3)可得f(0+0) ≥f(0)+f(0),即f(0) ≤0.

又由条件(1)得f(0) ≥0,则f(0)=0.

(Ⅱ)任取,可知,

,

,故

于是当0≤x≤1时,有f(x)≤f(1)=1

因此,当x=1时,f(x)有最大值为1,

(Ⅲ)证明:

研究①当时,f(x) ≤1<2x

②当时,

首先,f(2x) ≥f(x)+f(x)=2f(x),∴.

显然,当时,

成立.

假设当时,有成立,其中k=1,2,…

那么当时,

可知对于,总有,其中n=1,2,…

而对于任意,存在正整数n,使得

此时,

③当x=0时,f(0)=0≤2x..

综上可知,满足条件的函数f(x),对x∈[0,1],总有f(x) ≤2x成立.

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7.450.8.略.

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1.D.2.D.3.C.4.A.5.D.6., ().

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10. 设为常数,:把平面上任意一点

 ()映射为函数

  (1)证明:不存在两个不同点对应于同一个函数;

  (2)证明:当时,,这里t为常数;

  (3)对于属于M的一个固定值,得,在映射F的作用下,M1作为象,求其原象,并说明它是什么图象?

答案:

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9.已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足:

(1)对于任意x∈[0,1],总有f(x)≥0;

(2)f(1)=1

(3)若,则有

(Ⅰ)试求f(0)的值;

(Ⅱ)试求函数f(x)的最大值;

(Ⅲ)试证明:满足上述条件的函数f(x)对一切实数x,都有f(x)≤2x..

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