23.(2009宁夏海南卷理)(本小题满分12分)

为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如示意图)，飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤。

(17) 解：

方案一：①需要测量的数据有：A

　点到M，N点的俯角；B点到M，

N的俯角；A，B的距离 d (如图所示) .　　　　　　　 ……….3分

　　 ②第一步：计算AM . 由正弦定理　；

　　　 第二步：计算AN . 由正弦定理　；

　　　 第三步：计算MN. 由余弦定理 .

方案二：①需要测量的数据有：

　　 A点到M，N点的俯角，；B点到M，N点的府角，；A，B的距离 d (如图所示).

　　 ②第一步：计算BM . 由正弦定理　；

　　第二步：计算BN . 由正弦定理　； 　　　　

　 　　第三步：计算MN . 由余弦定理

22.(2009辽宁卷理)(本小题满分12分)

如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离(计算结果精确到0.01km，1.414，2.449) 　　　　

(17)解:

在△ABC中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30,

所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°，

故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA，　 　　　　……5分

在△ABC中，

即AB=

因此，BD=

故B，D的距离约为0.33km。　　　　 　　　　　　　　　……12分

21.(2009辽宁卷文)(本小题满分12分)

如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC＝0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点距离相等，然后求B，D的距离(计算结果精确到0.01km，1.414，2.449) 　　　　　

(18)解：

　　 在中，＝30°，＝60°－＝30°，

　　 所以CD＝AC＝0.1

　　 又＝180°－60°－60°＝60°，

　　 故CB是底边AD的中垂线，所以BD＝BA　　　 5分

　　 在中，， 　　　　　

　　 即AB＝

　　 因此，

　　 故B、D的距离约为0.33km。　　　　　　　 12分

18.本小题主要考查三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识，考查运算求解能力以及应用数学知识分析和解决实际问题的能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，

解法一

(Ⅰ)依题意，有，，又，。

当 是，

　又

(Ⅱ)在△MNP中∠MNP=120°，MP=5，

设∠PMN=，则0°<<60°

由正弦定理得

,

故

0°<<60°，当=30°时，折线段赛道MNP最长

亦即，将∠PMN设计为30°时，折线段道MNP最长

解法二：

(Ⅰ)同解法一

(Ⅱ)在△MNP中，∠MNP=120°，MP=5，

由余弦定理得∠MNP=

即

故

从而，即

当且仅当时，折线段道MNP最长

注：本题第(Ⅱ)问答案及其呈现方式均不唯一，除了解法一、解法二给出的两种设计方式，还可以设计为：①；②；③点N在线段MP的垂直平分线上等

20.(2009福建卷理)(本小题满分13分)

如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动

赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数

y=Asinx(A>0, >0) x[0,4]的图象，且图象的最高点为

S(3，2)；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛

运动员的安全，限定MNP=120

(I)求A , 的值和M，P两点间的距离；

(II)应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

19.(2009湖南卷文)(每小题满分12分)

　 已知向量

(Ⅰ)若，求的值；　 　　　　　

(Ⅱ)若求的值。　　

解：(Ⅰ) 因为，所以

于是，故

(Ⅱ)由知，

所以

从而，即，

于是.又由知，，

所以，或.

因此，或　　

18.(2009全国卷Ⅱ理)(本小题满分10分)

设的内角、、的对边长分别为、、，，，求。

分析：由，易想到先将代入得_。然后利用两角和与差的余弦公式展开得；又由，利用正弦定理进行边角互化，得，进而得.故。大部分考生做到这里忽略了检验，事实上，当时，由，进而得，矛盾，应舍去。

也可利用若则从而舍去。不过这种方法学生不易想到。

评析：本小题考生得分易，但得满分难。

17.(2009四川卷文)(本小题满分12分)

在中，为锐角，角所对的边分别为，且

(I)求的值；

(II)若，求的值。

[解析](I)∵为锐角，

∴

∵

∴ 　　　　…………………………………………6分

(II)由(I)知，∴

　由得

，即

又∵　

∴　 　　∴　

∴　 　　　…………………………………………12分

16.(2009天津卷文)(本小题满分12分)

在中，

(Ⅰ)求AB的值。

(Ⅱ)求的值。

[答案]

　 [解析](1)解：在 中，根据正弦定理，，于是

(2)解：在 中，根据余弦定理，得

于是=，

从而

[考点定位]本题主要考查正弦定理，余弦定理同角的三角函数的关系式，二倍角的正弦和余弦，两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力。

15.(2009江西卷理)(本小题满分12分)

△中，所对的边分别为，,.

(1)求；

(2)若,求. 21世纪教育网　 　　　　

解：(1) 因为，即，

所以，

即 ，

得 .　　 所以,或(不成立).

即 , 得，所以.

又因为，则，或(舍去)

得

(2)，　

　又, 即 ，21世纪教育网　 　　　　

得