1.数列中和之间基本关系

例１       已知数列的前项和，则其通项        ；若它的第项满足，则    ．

分析：由数列中，可以求出，问题就解决了．

解析：当时；

当时，．

而时的情况也符合的情况，故通项．

由解得，又是正整数，故．分别填，．

点拨：数列的通项和前项和之间的关系是数列的一个重要考点，需要注意的是应分和两种情况分别求解，再看两种情况能不能统一，若能就统一到一个公式，不能就用分段的形式写出数列的通项公式．

2.等差等比数列的基本问题

例２       设是公比大于的等比数列，为数列的前项和．已知，且，，构成等差数列．

（1）求数列的通项公式；                                                          

（2）令　，，求数列的前项和．

分析：由条件＂，且，，构成等差数列＂，列出方程组就可以求出等比数列的首项和公比，问题的突破口就打开了．

解析：（1）由已知得，解得．设数列的公比为，由，可得．又，可知，即，

解得．由题意故，．故数列的通项为．

（2）由于由（1）得，.

       又，是等差数列．

       ．

       故．

点拨：等比数列的基本元素是首项和公比，用方程的思想解决了这两个元素，题目中的其他问题也就不难解决了，在复习中要树立用方程思想寻找数列基本元素的意识．

3.考查数列基本问题的同时，对脱胎于教材上等比数列前和推导方法的数列求和的考查

例３       设数列满足

（１）求数列的通项；

（２）设求数列的前项和．

分析：求出数列的通项是是问题的突破口，从的结构特点，只要对其下标降一个标号，两式相减就可以求出．

解析：: (１) ， ，

，．验证时也满足上式，所以

(２) ，

，两端同乘以得：

，两式相减得：　，即 ， 所以 ．

点拨：本题第二问的求和方法，脱胎于教材上等比数列前项公式的推导方法，是近年来高考数列试题中考查最多的一个地方，在复习中一定要熟练的掌握．

4.与算法结合考数列求和，特别是与算法的循环结构结合，将是今后课标区高考的一个重要命题方向．（文科不要这个）

分析：循环终止的条件是，即按照将的值赋给后时循环终止．

解析：按照顺序结构依次执行的法则，变量是从开始，经两次将赋给进行的累加求和，即；变量是从先将赋给后开始的累加求和，即从开始的，经再次将赋给后到终止，即．

选Ｄ．

点拨：高考对算法的考查主要是带有循环结构的程序框图，数列求和是一个重要方面．

5.与不等式函数等问题相结合的综合问题

例５       已知函数，是方程的两个根，是的导数；设，（）．

（1）求，的值；

（2）证明：对任意的正整数，都有；

（3）记（），求数列的前项和．

解析：（1）∵，是方程的两个根，∴；

 （2），

=，∵，∴由基本不等式可知（当且仅当时取等号，但，故等号取不到），∴同，样，……，（）；

 （3），而，即，

，同理，故，又，故，又，所以．

点拨：本题的背景是非线形递推数列通项公式的特征方程求解方法，将数列与函数导数不等式结合起来综合考查我们对数学知识、数学方法、数学思想的认识，是我们复习备考中应重视的地方．

6.算法：主要是带有循环结构的程序框图．（文科不要这个）

例６．如果执行右面的程序框图，那么输出的（　　）

Ａ．2450                    Ｂ．2500            

Ｃ．2550                    Ｄ．2652

分析：记数变量从开始，累加变量从开始，进入循环体后记数变量逐个增加，累加变量以记数变量的二倍累加，直到记数变量超过终止循环，故所求的是．

解析：由程序知，

选Ｃ．

点拨：这类问题的关键是搞清楚循环开始的条件和终止的条件以及循环的规律．

四  扫雷先锋

易错点一 忽视分段至误

例1        若等差数列的首项，公差，求.

分析：考生有可能忽视了的情况，只给出的结果，如下面的解法：由题意 ，因此由解得，即数列的前6项大于0，从第7项开始，以后各项均小于0.所以

解析：由题意 ，因此由解得，

即数列的前6项大于0，从第7项开始，以后各项均小于0.

当时，

当时，

所以

点评：在数列问题中，一定注意项数的取值范围，特别是在它取不同的值造成不确定的因素时，要注意对其加以分类讨论.

易错点二：忽视正整数的限制条件至误。

例2        数列是递减等差数列，且，，试求数列前项和的最大值，并指出对应的的值．

分析：本题有多种解法，一种方法就是求出该等差数列的前项和的表达式，由于该等差数列的公差不等于零，其前项和是关于的二次函数，考试容易忽视是正整数的限制条件导致结果出错。

解析：设此等差数列的首项为，公差为，

则由即，解得（舍）或

，当时，最大，最大值为287．

点评：等差数列的前项和公式可化为，它可以看成是关于的二次函数，故可采用配方法求其前项和公式的最值，但应特别注意，当对称轴不是正自然数时，应将与对称轴最接近的两个自然数代入函数关系式，再求值比较，以便确定取何值时，最大（最小）.

易错点三：忽视隐含条件至误

例3        已知等比数列，若，，求．

分析：本题考生容易忽视隐含条件出现错解，如下面的解法：，，，解得或，，或，或或或．这个解法忽视了题目中所隐含的的条件。

解析：有错因诊断的解法可以用得到该等比数列的公比或，所以或．

点评：在解决等比数列问题时要密切注意其中所隐含的条件，如等比数列中不能出现等于零的项，等比数列中的项要么都是正值、要么都是负值，当出现正负项时，不可能连续两项符号相同，只能是正负相间等。

五  规律总结

1.等差数列的充要条件：数列是等差数列（为常数，）（为常数，）（为常数）．

2.等差数列的常用性质：已知是等差数列，公差为，则①；     ②若，则；③下标成等差数列的项组成的数列仍为等差数列，公差为；④仍为等差数列；⑤数列（为常数）仍为等差数列，公差为．

3.等差数列与函数的关系

①等差数列的通项公式与函数的关系：由等差数列的通项公式可知，

当时，可以看成是关于的一次函数；当时，，可知是常数函数．不论是否为的图象都是在同一条直线上的一群孤立的点．

②等差数列的前项和公式与函数的关系：由等差数列的前项和公式可知，当时，可以看成是关于的二次函数（不含常数项，所以图象所在的抛物线过原点）；当时，可以看成是关于的一次函数（当时），或为常数函数（当时）．

4.等比数列的充要条件：数列是等比数列（为常数，），且．

5.等比数列的常用性质：已知是等比数列，公比为，则

①；②若，则；③下标成等差数理的项组成的数列仍为等比数列，公比为；④（当各项均不为0时）为等比数列．

六  能力突破

例1 从社会效益和经济利益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以发展旅游产业。根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少。本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项目建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加。

（1）设年内（本年度为第一年）总投入为万元，旅游业总收入为万元，写出和；

（2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入。

本题简介：本题考查数列的实际应用．

解析：构建等比数列的通项和前项和模型，用换元法及不等式知识求解。

（1）      第一年投入为800万元，第二年投入为800（1-）万元，，第年投入为

800，所以年内的总投入为；第一年旅游业收入为400万元，第二年旅游业收入为400（1+）万元，第年旅游业收入为400万元。所以，年内的旅游业总收入为（1+）++400=1600。

(2)设至少经过年旅游业的总收入才能超过总投入。

依题设有，即1600，化简得，换元化归为一元二次不等式，解之得，由此得。

故至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入。

反思：数列的应用题是数列的一个难点，重要是对题意的理解，而所考查的内容主是等差数列和等比数列的基本知识，其中最多的题型是分期付款，增长率等问题。

例2：已知数列满足：，　，求出数列的通项公式．

分析一：由，知道，后式减前式得　，则数列是首项为，公比为的等比数列，这样，从而，将这个等式相加得，从而．

解析一：（略） ．

反思一：累加相邻两项差的方法也是解决递推数列问题的常用手段．

分析二：类比等比数列的递推式，由，我们如果能通过恰当的变换化为类似的形式，问题即可解决．不妨设，则这个式子等价于，与比较，只要，则　，从而数列是首项为，公比为的等比数列，这样就求出了数列的通项公式，将常数移项就得出了数列的通项公式．

解析二：设，则，令，则，即数列是首项为，公比为的等比数列，所以，即．

反思二：通过待定常数转化为等比数列使问题获解．转化是解决递推数列最重要的思想．

例3        已知数列满足，且,则=      

解法一：,，由此可知此数列是以6为周期的数列，所以==。

解法二：由   ①

得②

①+②化简得③

由③得=-()=

所以此数列是以6为周期,以下略.

反思：在数列的选择、填空题中常给出递推数列条件求数列某一项（一般此项的项数较大）的试题，这种题常要通过写出数列的前几项，然后观察规律求其它项，这种题也往往是周期数列，所以也能用象函数求周期的方法来求出周期，再求其它项。

七 高考风向标

数列的有关知识及其性质贯穿于数列知识的始终, 而等差数列与等比数列的概念, 通项公式、前n项和公式以及运用知识解决问题, 则是考查灵活能力以及分析问题及决问题的能力的渠道。在客观题中,突出”小、巧、活”的特点, 解答题以中等以上难度的综合题目为主, 涉及函数、方程、不等式等内容。

程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环.特别是带有循环结构的程序框图.

考点一 等差数列和等比数列的基本问题

例1（08年高考海南宁夏卷理4）设等比数列的公比，前n项和为，则（    ）

分析：本题考查等比数列的前项和公式、通项公式的简单应用，是一道容易题，只要熟悉等比数列的两个基本公式，解答本题困难不大，但也要注意运算的准确性。

A. 2               B. 4               C.             D.

解析：C       。

点评记错公式，运算马虎，或是试图求出该数列的首项，是本题出错的主因。本题是求一个比值，因此不不要把数列的首项求出来，从整体上把它约掉即可，这也是解决“比值”类题目的重要思路之一。

考点二：等差数列、等比数列的综合问题

例2（08年高考辽宁文20）在数列，是各项均为正数的等比数列，设．

（Ⅰ）数列是否为等比数列？证明你的结论；

（Ⅱ）设数列，的前项和分别为，．若，，求数列的前项和．

分析：本题主要考查等差数列、等比数列、对数等基础知识和综合运用数学知识解决问题的能力．第一问考查的是“两个等比数列的商还是等比数列”，这和教材中的一些问题很接近，考生解决困难不大；第二问首先考查的是“正项等比数列取对数后得到的是等差数列”，其次着重考查的是“对任意正整数恒成立，可以归结为一个关于正整数的恒等式，用多项式恒等定理得到一个关于基本量的方程组，解这个方程组确定基本量”，这可以说是本题考查的“重心”。最后一个等比数列求和是一个很容易的问题。这个试题突出的是解决两类基本数列问题的基本量方法。

解析：（Ⅰ）是等比数列．

证明：设的公比为，的公比为，则

，故为等比数列．

（Ⅱ）数列和分别是公差为和的等差数列．

由条件得，即

．

故对，，…，

．

于是

将代入得，，． 从而有．

所以数列的前项和为．

点评：第一问论证不严谨，忽视公比大于0和，等比数列的一个突出特点是其中不能出现数值为的项，公比当然也不能是0，这一点要注意；第二问中式子复杂，在式子的变形中少有疏忽就会前功尽弃，考生在解决这样的考题时，一定要一步一步的演算，达到“心细如发”的境界，才能有效地避免出错。

考点三：简单的递推数列

例3（08年高考江西文5）在数列中，， ，则

A．      B．         C．      D．

分析：本题考查简单的递推数列通项公式的求法，采用的是“归纳递推法”，本题也可以将递推式变形为后，用“迭加”的方法解决。在递推数列中这个题属于基本类型，是高考命题的一个基本着眼点，考生要熟练掌握这类递推数列通项公式的解决方法。

解析：  ，，…，

。

点评：不明确方法就不会解，变形错误就得出错误的结果，在和之间混淆也会出错，如本题在用“迭加”方法解决的时候，“迭加”的是这个等式，不是个等式，在解决递推数列问题时，开始的部分和结束的部分要辨别清楚，不然就就会出错。

考点四：算法

例4（08年高考海南宁夏卷理5文6）

右面的程序框图，如果输入三个实数a、b、c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（    ）

A. c > x         B. x > c         C. c > b         D. b > c。

分析:题目给出的是一个以选择结构为主的流程图，考生要想正确解答该题首先是明确这个算法流程图的意义，其次是对变量赋值有清醒的认识。

解析:     A     在第一个判断结束后，已经把两个数中的大者赋给了，因此只要在第二个判断中把中的打者找出来即可，故判断框中应填。

点评:对算法流程图所表示的意义理解模糊，或是对其中的几次对变量赋值搞不清楚，是本题出错的主要原因。

八  沙场练兵

选择题

1．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是（   ）

A．5         B．4        C． 3          D．2

1.C  提示：∴。

2.在圆内，过点有条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项，最长的弦长为，若公差，那么 的取值集合为  (    )

A．4，5，6           B．6，7，8，9       C．3，4，5        D．3，4，5，6

2.A  提示：圆可化为，所以过点最短弦长为，最长弦长为，由得。

3. 在等比数列{a_n}中，，则首项a₁=（   ）

A．               B．              C．          D．

3.D

4．关于数列：，以下结论正确的是                       （     ）

A．此数列不是等差数列，也不是等比数列

B．此数列可能是等差数列，但不是等比数列

C．此数列不是等差数列，但可能是等比数列

D．此数列可能是等差数列，也可能是等比数列

4.D  提示：由前2项可设通项和，代入检验即可。

5．在等差数列中，已知则等于        （     ）

       A．　　　B．　　　C．　　　　D．

5.B提示：。

6．若成等比数列，则关于x的方程           （            ）

A．必有两个不等实根        B．必有两个相等实根

C．必无实根                   D．以上三种情况均有可能

6.C提示：∵。

7.已知数列满足若则的值为   （    ）

A．                  B．                  C．                  D．

7.B  提示：此数列具有周期性。

（理科第7题）如图所示的算法中，令，，，若在集合中，给取一个值，输出的结果是，则的值所在范围是    （　　）

A．                     B．                 C．                D．

7.D  提示：输出的是最大数。

8．已知数列，则数列中最大的项为                   （   ）

    A．           B．            C．或       D．不存在

8.C  提示：利用不等式且考虑的取整即可。

9.图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第个图形包含个“福娃迎迎”，则（   ）

         A．                               B．              C．4n-4           D．4n-1

9.C 

10若，则a_n＋1－a_n=（   ）

A．                               B．    

C．                    D．

10.D

11．已知a₁=0, |a₂|=|a₁＋1|，|a₃|=|a₂＋1|, …，|a_n|=|a_n－1＋1|，则a₁＋a₂＋a₃＋a₄的最小值是（  ）

A．－4              B．－2              C． 0               D．

11.B

12．由=1，给出的数列的第项为（   ）

A．          B．      C．           D．

12.C       提示：∵，即。

（二）填空题

13．在等比数列中， ， 若对正整数都有， 那么公比的取值范围是    。                                 

13.       提示：由得。

（理科第13题）若执行下面的程序图的算法，则输出的_______.

14.2551 提示：输出的是。

14．已知等差数列的前项和，若，，则          。

14.10     提示：由得，由得。

15．已知成等差数列，成等比数列，则的值为_________.

15.90     提示：：∵。

16．设数列的前项和为，关于数列有下列四个命题：

①若既是等差数列又是等比数列，则；

②若，则是等差数列；

③若，则是等比数列；

④若是等比数列，则也成等比数列；

其中正确的命题是                （填上正确的序号）。

16. ①②③提示：在④中由于可能出现的情况。

九、实战演习

1.等差数列{a_n}的前n项和记为S_n,若a₃+a₇+a₁₁为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是（    ）

A.S₇                         B.S₁₁                     C.S₁₂                              D.S₁₃

2.设等比数列{a_n}的前n项和为S_n,若S₆∶S₃=1∶2，则S₉∶S₃等于（    ）

A.1∶2               B.2∶3         C.3∶4                  D.1∶3?

3．数列满足是的前项和，则的值为（  ）

A．           B．         C．6             D．10

4．设则等于  （  ）

A．      B．     C．        D．

5.等差数列的前n项和当首项和公差d变化时，若是一个定值，则下列各数中为定值的是(    )  

 A、        B、       C、       D、

5.B

6.等比数列{a_n}的公比为q,前n项和为S_n,若S_n,S_n+1,S_n+2经过适当排列后可构成等差数列，则q可能为（    ）

A.1或-2                            B.-2或-

C.-或1                          D.-2或-或1

7. 给出以下四个问题,

①, 输出它的相反数.        ②求面积为的正方形的周长.

③求三个数中输入一个数的最大数.        

 ④求函数的函数值.

 其中不需要用条件语句来描述其算法的有 (    ) .

A. 个    B. 个    C. 个    D. 个

（文科第7题）在等比数列中，，则等于  （   ）

    A.             B.              C.                D.

7.A  提示：．

8．已知等比数列{a}中，则其前3项的和的取值范围是(    )

　A.　　　　　          B.　

C.　　　　　           D.

8.D

9.在数列{a_n}中，若a₁+a₂+…+a_n=2ⁿ,则a₁³+a₂³+…+a_n³等于（    ）

A.8ⁿ               B.(8ⁿ-1)        C.(6ⁿ-1)       D.(8^n-1+6)

10.某厂在2008年底制订生产计划，要使2018年底的总产量在原有基础上翻两番，则年总产量增长率为（   ）

A．      B．       C．     D．

10.A提示：依题意可得.

（文科１１题）设等差数列的前项和为，且，则等于（   ）

    A. 168             B. 286              C. 78                D. 152

11.B   提示：由已知得，则S₁₃=286．

11．下图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（    ）．

A．.i>100  B．i<＝100 　　　C．i>50 　　　D．i<＝50

（文科第１２题）设是等差数列的前项和，，则等于　（    ）

    A. 15             B. 16               C. 17                 D. 18

12.D       提示：由得，再由．

12．求得和的最大公约数是（    ）

A．     B．    C．    D．

13.已知数列中，则等于           

14.已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，则使得为整数的正整数的个数是              

15.已知等差数列有一性质：若{a_n}是等差数列.则通项为b_n=的数列{b_n}也是等差数列，类似上述命题，相应的等比数列有性质：若{a_n}是等比数列（a_n＞0）,则通项为b_n=__________的数列{b_n}也是等比数列.

（文科第16题）已知函数,等差数列的公差为.若,则            .

16.-6

16．下面是一个算法的流程图，回答下面的问题：

当输入的值为3时,输出的结果为                 ．

17.在数列中，表示该数列的前n项和.若已知

（1）求证：数列是等比数列；

（2）求数列的通项公式.

18．（本小题满分12分）设数列{a_n}的前n项和为，已知a₁=1，S_n=na_n－2n(n－1) (n)

（1）求证：数列{a_n}是等差数列；

（2）求的值.

19．（本小题满分12分）等差数列{a_n}的前n项和为，，.

（1）求数列{a_n}的项与前n项和；

（2）设，求证：数列{b_n}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.

20．某种商品进价每个80元，零售价每个100元，为了促销，采用每买一个这样的商品赠送一个小礼品。实验表明：礼品价值1元时销售量增加10%，且在一定范围内礼品价值为n+1元时，比礼品价值为n元时（n∈N^*）的销售增加10%，请你设计礼品价值以使商品获得最大利润.

21.．设数列的前项和为，且满足

⑴求数列的通项公式；

⑵若数列满足且求数列的通项公式；

⑶设，求数列的前项和。

22．如果有穷数列a₁,a₂,…a_m(m为正整数)满足条件a₁= a_m，a₂= a_m－1，…，a_m=a₁，即a_i=a_m－i＋1(i=1,2, …,m),我们称其为“对称数列”.

（1）设{b_n}是7项的“对称数列”，其中b_1，b_2，b_3，b₄是等差数列，且b₁=2, b₄=11，依次写出{b_n}的每一项；

（2）设{C_n}是49项的“对称数列”，其中C₂₅,C₂₆,…,C₄₉是首项为1，公比为2 的等比数列，求{C_n}各项的和S.

（3）设{d_n}是100项的“对称数列”，其中d₅₁,d₅₂, …,d₁₀₀是首项为2，公差为3的等差数列，求{d_n}前n项的和S_n(n=1,2, …,100).