18．(本小题满分14分)

请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六

棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如右

图所示)。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离

为多少时，帐篷的体积最大？

[考点分析：本题主要考查利用导数研究函数的最值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力]

解：设，则。

由题设可得正六棱锥底面边长为：，(单位：)

故底面正六边形的面积为：=，(单位：)

帐篷的体积为：

(单位：)

求导得。

令，解得(不合题意，舍去)或。

当时，，为增函数；

当时，，为减函数。

∴当时，最大。

答：当时，帐篷的体积最大，最大体积为。

17．(本小题满分12分，第一小问满分5分，第二小问满分7分)

已知三点P(5，2)、(－6，0)、(6，0)。

(Ⅰ)求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；

(Ⅱ)设点P、、关于直线y＝x的对称点分别为、、，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程。

[考点分析：本题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力]

[解](I)由题意，可设所求椭圆的标准方程为+，其半焦距。

，　　 ∴，

，故所求椭圆的标准方程为+；

(II)点P(5，2)、(－6，0)、(6，0)关于直线y＝x的对称点分别为：

、(0，-6)、(0，6)

设所求双曲线的标准方程为-，由题意知半焦距，

，　　 ∴，

，故所求双曲线的标准方程为-。

(11)在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，则AC＝　▲　

解：利用正弦定理

点评：本题主要考查正弦定理的应用

(12)设变量x、y满足约束条件，则的最大值为　▲　

解：根据线性约束条件画出可行域(图略)，显然在(3，4)处取得最大值18

点评：本题主要考查线性规划的基础知识。

(13)今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有　▲　种不同的方法(用数字作答)。

解：由题意，

点评：本题主要考查不全相异元素的全排列

(14)＝　▲　

解

点评：本题主要考查三角函数的画简与求值

(15)对正整数n，设曲线在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是　▲　

解：，令x=0，求出切线与y轴交点的纵坐标为，所以，则数列的前n项和

点评：本题主要考查利用导数求切线方程，再与数列知识结合起来，解决相关问题。

(16)不等式的解集为　▲　

解：

综上：

点评：本题主要考查对数不等式的解法

(1)已知，函数为奇函数，则a＝

(A)0　　(B)1　　(C)－1　　(D)±1

解：法一：由函数是定义域为R的奇函数，则， 即，则a＝0，选A

法二：得：，则a＝0，选A

点评：主要考查奇函数的定义和性质

(2)圆的切线方程中有一个是

(A)x－y＝0　　(B)x+y＝0　　(C)x＝0　　(D)y＝0

解：圆心为(1，)，半径为1，故此圆必与y轴(x=0)相切，选C

　点评：本题主要考查圆的定义及直线与圆的位置关系

(3)某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x－y｜的值为

(A)1　　(B)2　　　(C)3　　　(D)4

解： 由平均数公式为10，得则；又由于方差为2，则得，所以有，故选(D)

点评：本题主要考查平均数与方差的定义等统计方面的基础知识

(4)为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点

(A)向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)

(B)向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)

(C)向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)

(D)向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)

解：根据三角函数的图像变换法则易得：把向左平移个单位长度得，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)故选(C)

点评：本题主要考查形如的三角函数图像的变换

(5)的展开式中含x的正整数指数幂的项数是

(A)0　　　(B)2　　　(C)4　　　(D)6

解：展开式通项为，若展开式中含x的正整数指数幂，即所以，选(B)

点评：本题主要考查二项式定理的相关知识

(6)已知两点M(－2，0)、N(2，0)，点P为坐标平面内的动点，满足　＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为

(A)　　(B)　　(C)　　(D)

解：由题意　　

，所以有

即：，故选(B)

点评：本题主要考查点的轨迹方程的求法

(7)若A、B、C为三个集合，，则一定有

(A)　　(B)　　(C)　　(D)

解：由知，，故选(A)

点评：本题主要考查集合间关系的运算

(8)设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是

(A)　　(B)

(C)　　　(D)

解：因为，所以(A)恒成立；

在(B)两侧同时乘以得

所以(B)恒成立；

(C)中，当a>b时，恒成立，a<b时，不成立；

(D)中，分子有理化得恒成立，故选(C)

点评：本题主要考查不等式的相关知识

A

D

C

B

(9)两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有

图1

(A)1个　　　(B)2个

(C)3个　　　(D)无穷多个

解：法一：本题可以转化为一个正方形可以有多少个内接正方形，显然有无穷多个

法二：通过计算，显然两个正四棱锥的高均为，考查放入正方体后，面ABCD所在的截面，显然其面积是不固定的，取值范围是，所以该几何体的体积取值范围是

点评：本题主要考查学生能否迅速构造出一些常见的几何模型，并不是以计算为主

(10)右图中有一个信号源和五个接收器。接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号。若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是

(A)　　　(B)

(C)　　　(D)

解：由题意，左端的六个接线点随机地平均分成三组有种分法，同理右端的六个接线点也随机地平均分成三组有种分法；要五个接收器能同时接收到信号，则需五个接收器与信号源串联在同一个线路中，即五个接收器的一个全排列，再将排列后的第一个元素与信号源左端连接，最后一个元素与信号源右端连接，所以符合条件的连接方式共有种，所求的概率是，故选(D)

点评：本题要求学生能够熟练运用排列组合知识解决计数问题，并进一步求得概率问题，其中隐含着平均分组问题。

21. (本小题满分14分)

已知椭圆C₁:,抛物线C₂:,且C₁、C₂的公共弦AB过椭圆C₁的右焦点.

(Ⅰ)当AB⊥轴时,求、的值，并判断抛物线C₂的焦点是否在直线AB上；

(Ⅱ)是否存在、的值，使抛物线C₂的焦点恰在直线AB上？若存在，求出符合条件的、的值；若不存在，请说明理由.

2006年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)

20. (本小题满分14分)

对1个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为:)为0.8,要求洗完后的清洁度是0.99.有两种方案可供选择,方案甲:一次清洗;方案乙:两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为(1≤a≤3).设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是(),用质量的水第二次清洗后的清洁度是,其中是该物体初次清洗后的清洁度.

(Ⅰ)分别求出方案甲以及时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少;

(Ⅱ)若采用方案乙,当为某定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量,使总用水量最少?并讨论取不同数值时对最少总用水量多少的影响.

19. (本小题满分14分)

已知函数,数列{}满足:

证明:(ⅰ);(ⅱ).

18. (本小题满分14分)

如图4,已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2,AB=4.

(Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD;

(Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角;

(Ⅲ)求点P到平面QAD的距离.

17.(本小题满分12分)

某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检).若安检不合格,则必须进行整改.若整改后经复查仍不合格,则强行关闭.设每家煤矿安检是否合格是相互独立的,且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5, 整改后安检合格的概率是0.8,计算(结果精确到0.01):

(Ⅰ)恰好有两家煤矿必须整改的概率;

(Ⅱ)平均有多少家煤矿必须整改;

(Ⅲ)至少关闭一家煤矿的概率.

16.(本小题满分12分)

如图3,D是直角△ABC斜边BC上一点,AB=AD,记∠CAD=,∠ABC=.

(Ⅰ)证明 ;

(Ⅱ)若AC=DC,求的值.