题目列表(包括答案和解析)
=
=sin(2x+.
∴f(x)的最小正周期T=
=π.
由题意得2kπ-
≤2x+
,k∈Z,
∴f(x)的单调增区间为[kπ-
],k∈Z.
(2)方法一:
先把y=sin 2x图象上所有的点向左平移
个单位长度,得到y=sin(2x+
)的图象,再把所得图象上所有的点向上平移
个单位年度,就得到y=sin(2x+
)+
的图象.
方法二:
把y=sin 2x图象上所有的点按向量a=(-
)平移,就得到y=sin(2x+
)+
的图象.
(18)本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离等基本知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.满分12分.
方法一:
(1)证明:连结OC.
∵BO=DO,AB=AD, ∴AO⊥BD.
∵BO=DO,BC=CD, ∴CO⊥BD.
在△AOC中,由已知可得AO=1,CO=
.
而AC=2,
∴AO2+CO2=AC2,
∴∠AOC=90°,即AO⊥OC.
∴AB平面BCD.
(Ⅱ)解:取AC的中点M,连结OM、ME、OE,由E为BC的中点知ME∥AB,OE∥DC.
∴直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角.
在△OME中,
是直角△AOC斜边AC上的中线,∴
∴
∴异面直线AB与CD所成角的大小为
(Ⅲ)解:设点E到平面ACD的距离为h.
,
∴·S△ACD =
·AO·S△CDE.
在△ACD中,CA=CD=2,AD=,
∴S△ACD=
而AO=1, S△CDE=
∴h=
∴点E到平面ACD的距离为.
方法二:
(Ⅰ)同方法一:
(Ⅱ)解:以O为原点,如图建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),D(-1,0,0),
C(0,,0),A(0,0,1),E(
,
,0),
∴
∴异面直线AB与CD所成角的大小为
(Ⅲ)解:设平面ACD的法向量为n=(x,y,z),则
∴
令y=1,得n=(-)是平面ACD的一个法向量.
又
∴点E到平面ACD的距离
h=
(19)本小题主要考查函数,导数及其应用等基本知识,考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分12分.
解: (1)当x=40时,汽车从甲地到乙地行驶了小时,
要耗油(
.
答:当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油17.5升.
(2)当速度为x千米/小时,汽车从甲地到乙地行驶了
设耗油量为h(x)升,衣题意得
h(x)=(
)·
,
h’(x)=(0<x≤120=
令h’(x)=0,得x=80.
当x∈(0,80)时,h’(x)<0,h(x)是减函数;
当x∈(80,120)时,h’(x)>0,h(x)是增函数.
∴当x=80时,h(x)取到极小值h(80)=11.25.
因为h(x)在(0,120)上只有一个极值,所以它是最小值.
答:当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升.
(20)本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识,考查平面解析几何的基本方法,
考查运算能力和综合能力.满分12分.
解(1) ∵a2=2,b2=1,∴c=1,F(-1,0),l:x=-2.
∵圆过点O、F.
∴圆心M在直线x=-
设M(-),则圆半径
r=|(-)-(-2)|=
.
由|OM|=r,得
解得t=±
,
∴所求圆的方程为(x+
)2+(y±
) 2=
.
(2)设直线AB的方程为y=k(x+1)(k≠0),
代入
+y2=1,整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0.
∵直线AB过椭圆的左焦点F,
∴方程有两个不等实根.
记A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点N(x0,y0),
则x1+x1=-
x0=
AB垂直平分线NG的方程为
令y=0,得
∵
∴点G横坐标的取值范围为()。
(21)本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识,考查运用导数研究函数性质的方法,考查运算能力,考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。满分12分。
解:(I)f(x)=-x2+8x=-(x-4)2+16,
当t+1<4,即t<3时,f(x)在[t,t+1]上单调递增,
h(t)=f(t+1)=-(t+1)2+8(t+1)=-t2+6t+7;
当t≤4≤t+1时,即3≤t≤4时,h(t)=f(4)=16;
当t>4时,f(x)在[t,t+1]上单调递减,
h(t)=f(x)=-t2+8t .
综上,h(t)=
(II)函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点,即函数
j(x)=g(x)-f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点。
∴j(x)=x2-8x+16ln x+m,
∵j′(x)=2x-8+
当x∈(0,1)时,j′(x)>0,j(x)是增函数;
当x∈(1,3)时,j′(x)<0,j(x)是减函数;
当x∈(3,+∞)时,j′(x)>0,j(x)是增函数;
当x=1,或x=3时, j′(x)=0;
∴j(x)极大值=j(1)=m-7, j(x)极小值=j(3)=m+6ln 3-15.
∵当x充分接近0时,j(x)<0,当x充分大时,j(x)>0.
∴要使j(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点,必须且只须
既7<m<-6ln 3.
所以存在实数m,使得函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点,m的取值范围为(7,15-6ln 3).
(22)本小题主要考查数列、不等式等基本知识,考查化归的数学思想方法,考查综合解题能力。满分14分。
(I)解:∵an+1=2 an+1(n∈N),
∴an+1+1=2(an+1),
∴| an+1| 是以a1+1=2为首项,2为公比的等比数列。
∴an+1=2n,
既an=2n-1(n∈N)。
(II)证法一:∵4b1-14 b2-2…4 bn-1=(a+1)bn,
∵4k1+k2+…+kn =2nk, ∴2[(b1+b2+…+bn)-n]=nb, ① 2[(b1+b2+…+bn+1)-(n+1)]=(n+1)bn+1 ②
②-①,得2(bn+1-1)=(n+1)bn+1-nb, 即 (n-1)bn+1-nbn+2=0. ③ nbn+2=(n+1)bn+1+2=0. ④ ④-③,得nbn+2-2nbn+1-nbn=0,
即 bn+2-2bn+1+b=0,
∴bn-2-bn+1=bn(n∈N*),
∴{bn}是等差数列.
证法二:同证法一,得
(n-1)bn+1=nbn+2=0
令n=1,得b1=2.
设b2=2+d(d∈R),,下面用数学归纳法证明 bn=2+(n-1)d.
(1)当n=1,得b1=2.
(2)假设当n=k(k≥2)时,b1=2+(k-1)d,那么
bk+1=
这就是说,当n=k+1时,等式也成立.
根据(1)和(2),可知bn=2(n-1)d对任何n∈N*都成立.
∵bn+1-bn=d,
∴{bn}是等差数列.
(3)证明:∵
∴
∵≥
(
),k=1,2,…,n,
数 学(文史类)
第Ⅰ卷(选择题 共60分) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)已知两条直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,则a等于
A.2
B.1
C.0
D.-1
(2)在等差数列{an}中,已知a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6等于
A.40
B.42
C.43
D.45
(3)“tan a=1”是“a=”的
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
(17)(本小题满分12分)
已知函数f(x)=sin2x+xcosx+2cos2x,x
R.
(I)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间;
(Ⅱ)函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到?
(18)(本小题满分12分)
如图,四面体ABCD中,O、E分别BD、BC的中点,CA=CB=CD=BD=2
(Ⅰ)求证:AO⊥平面BCD;
(Ⅱ)求异面直线AB与CD所成角的大小;
(Ⅲ)求点E到平面的距离.
(19)(本小题满分12分)
统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为:y=(0<x≤120).已知甲、乙两地相距100千米。
(Ⅰ)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?
(Ⅱ)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?
(20)(本小题满分12分)
已知椭圆的左焦点为F,O为坐标原点。
(Ⅰ)求过点O、F,并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程;
(Ⅱ)设过点F且不与坐标轴垂直交椭圆于A、B两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点G,求点G横坐标的取值范围.
(21)(本小题满分12分)
已知函数f(x)=-x+8x,g(x)=6lnx+m
(Ⅰ)求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t);
(Ⅱ)是否存在实数m,使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点?若存在,求出m的取值范围;,若不存在,说明理由。
(22)(本小题满分14分)
已知数列{a}满足a
=1,a
=2a
+1(n∈N
)
(Ⅰ)求数列{a}的通项公式;
(Ⅱ)若数列{bn}满足4k1-14k2-1…4k-1=(an+1)km(n∈N*),证明:{bn}是等差数列;
(Ⅲ)证明:(n∈N*).
数学试题(理工农医类)参考答案
一、选择题:本大题考查基本概念和基本运算,每小题5分,满分60分.
(1)D (2)B (3)A (4)C (5)D (6)A
(7)C (8)A (9)B (10)C (11)B (12)B
二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题4分,满分16分.
(13)10
(14)
(15)
(16)(
)
(13)(x-
)
展开式中x
的系数是
(用数字作答)
(14)已知直线x-y-1=0与抛物线y=ax相切,则a=
(15)一个均匀小正方体的六个面中,三个面上标以数0,两个面上标以数1,一个面上标以数2,将这个小正方体抛掷2次,则向上的数之积的数学期望是
(16)如图,连结△ABC的各边中点得到一个新的△A1B1C1,又连结的△A1B1C1各边中点得到,如此无限继续下去,得到一系列三角形:△ABC,△A1B1C1,△A2B2C2,…,这一系列三角形趋向于一个点M,已知A(0,0) ,B(3,0),C(2,2),则点M的坐标是 .
(1)设a、b、c、d∈R,则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是
A.ad-bc=0 B.ac-bd=0 C. ac+bd=0 D.ad+bc=0
(2)在等差数列{a}中,已知a
=2,a
+a
=13,则a
+a
+a
等于
A.40 B.42 C.43 D.45
(3)已知∈(
,
),sin
=
,则tan(
)等于
A.
B.7
C.-
D.-7
(4)已知全集U=R,且A={x︱︱x-1︱>2},B={x︱x-6x+8<0},则(
A)∩等于
A.[-1,4] B. (2,3) C. (2,3) D.(-1,4)
(5)已知正方体外接球的体积是,那么正方体的棱长等于
A.2
B.
C.
D.
(6)在一个口袋中装有5个白球和3个黑球,这些球除颜色外完全相同,从中摸出3个球,至少摸到2个黑球的概率等于
A.
B.
C.
D.
(7)对于平面和共面的直线m、n,下列命题中真命题是
A.若m⊥,m⊥n,则n∥
B.若m∥
,n∥
,则m∥n
C.若m,n∥
,则m∥n
D.若m、n与
所成的角相等,则n∥m
(8)函数y=㏒(x﹥1)的反函数是
A.y= (x>0)
B.y=
(x<0)
C.y= (x>0) D. .y=
(x<0)
(9)已知函数f(x)=2sinx(
>0)在区间[
,
]上的最小值是-2,则
的最小值等于
A.
B.
C.2 D.3
(10)已知双曲线(a>0,b<0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是
A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,+∞] D.(2,+∞)
(11)已知︱︱=1,︱
︱=
,
=0,点C在∠AOB内,且∠AOC=30°,设
=m
+n
(m、n∈R),则
等于
A.
B.3
C.
D.
(12)对于直角坐标平面内的任意两点A(x,
y
)、B(x
,y
),定义它们之间的一种“距离”:‖AB‖=︱x
-x
︱+︱y
-y
︱.
给出下列三个命题:
①若点C在线段AB上,则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖;
②在△ABC中,若∠C=90°,则‖AC‖+‖CB‖
=‖AB‖
;
③在△ABC中,‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖.
其中真命题的个数为
A.0 B.1 C.2 D.3
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
案填在题中横线上。
(9)的值等于
.
(10)在
的展开式中,
的系数是
.(用数字作答)
(11)若三点 A(2,2),B(a,0),C(0,b)(0 ,b)(ab0)共线,则,
的值等于
(12)在△ABC 中,若 C B A sin A: sinB: sinC =5:7:8. 则∠B 的大小是
(13)已知点 P(x,y)的坐标满足条件
点O为坐标原点,那么|PO |的最小值
等于,最大值等于
.
(14)已知A、B、C三点在球心为 O,半径为R 的球面上,AC⊥BC,且 AB=R,那么 A、B 两点间的球面距离为 球心到平面 ABC 的距离为
.
. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
(15)(本小题共 12 分)
已知函数.
(Ⅰ)求的定义域;
(Ⅱ)设的第四象限的角,且
,求
的值
(16)(本小题共 13 分)
已知函数在点
处取得极大值5,其导函数
的图象经过点(1,0),(2,0),如图所示,求:
(Ⅰ)的值; (Ⅱ)a,b,c 的值.
(17)(本小题共 14 分)
如图,在底面为平行四边形的四棱锥 P-ABCD 中,AB⊥AC,PA⊥平面 ABCD,且
PA=PB,点 E 是 PD 的中点.
(Ⅰ)求证:AC⊥PB;
(Ⅱ)求证:PB//平面 AEC;
(Ⅲ)求二面角 E-AC-B 的大小.
(18)(本小题共 13 分)
某公司招聘员工,指定三门考试课程,有两种考试方案.
方案一:考试三门课程,至少有两门及格为考试通过;
方案二:在三门课程中,随机选取两门,这两门都及格为考试通过.
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是 a,b,c,且三门课程考
试是否及格相互之间没有影响. 求:
(Ⅰ)分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率;
(Ⅱ)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.(说明理由)
(19)(本小题共 14 分)
已知点 M(-2,0),N(2,0),动点 P满足条件|PM |-|PN |=,记动点 P的轨
迹为 W.
(Ⅰ)求 W 的方程;
(Ⅱ)若 A,B 是W上的不同两点,O 是坐标原点,求
、
的最小值.
(20)(本小题共 14 分)
在数列中,若 a1,a2 是正整数,且
,
3,4,5,…,则称
为“绝对差数列”.
(Ⅰ)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项);
(Ⅱ)若“绝对差数列”中,
,
,数列
满足
n=1,2,3,…,分虽判断当时,
与
的极限是否存在,如果存在,求出其极
限值;
(Ⅲ)证明:任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.
(1)在复平面内,复数 对应的点位于
(A)第一象限 (B)第二象限
(C)第三象限 (D)第四象限
(2)若 a 与 b-c 都是非零向量,则“a·b=a·c”是“a⊥(b-c)”的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
(3)在 1,2,3,4,5 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为
(A)36 个 (B)24 个
(C)18 个 (D)6 个
(4)平面的斜线 AB 交
于点 B,过定点 A 的动直线
与 AB 垂直,且交
于点 C,则动 点 C 的轨迹是
(A)一条直线 (B)一个圆
(C)一个椭圆 (D)双曲线的一支
(5)已知 是
上的增函数,那么 a 的取值范
围是
(A)(0,1) (B)(0,)
(C),
(D)
(6)在下列四个函数中,满足性质:“对于区间(1,2)上的任意,
(
).
恒成立”的只有
(A) (B)
(C) (D)
(7)设,则
等于
(A)
(B)
(C) (D)
(8)下图为某三岔路口交通环岛的简化模型,在某高峰时段,单位时间进出路口 A、B、
C 的机动车辆数如图所示,图中
分别表示该时段单位时间通过路段
,
的机动车辆数(假设:单位时间内,在上述路段中,同一路段上驶入与驶出的车辆数相等),则
(A)
(B)
(C)
(D)
普通高等学校招生全国统一考试
数 学(文史类) (北京卷)
第 II 卷(共 110 分)
(17)(本大题满分12分)已知
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的值。
解:(Ⅰ)由得
,即
,又
,所以
为所求。
(Ⅱ)=
==
=
。
(18)(本大题满分12分)在添加剂的搭配使用中,为了找到最佳的搭配方案,需要对各种不同的搭配方式作比较。在试制某种牙膏新品种时,需要选用两种不同的添加剂。现有芳香度分别为0,1,2,3,4,5的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理,通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。用表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和。
(Ⅰ)写出的分布列;(以列表的形式给出结论,不必写计算过程)
(Ⅱ)求的数学期望
。(要求写出计算过程或说明道理)
解:(Ⅰ)
![]() |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
P |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
(Ⅱ)
(19)(本大题满分12分)如图,P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点,,P在平面ABC内的射影为BF的中点O。
(Ⅰ)证明⊥
;
(Ⅱ)求面与面
所成二面角的大小。
解:(Ⅰ)在正六边形ABCDEF中,为等腰三角形,
∵P在平面ABC内的射影为O,∴PO⊥平面ABF,∴AO为PA在平面ABF内的射影;∵O为BF中点,∴AO⊥BF,∴PA⊥BF。
(Ⅱ)∵PO⊥平面ABF,∴平面PBF⊥平面ABC;而O为BF中点,ABCDEF是正六边形 ,∴A、O、D共线,且直线AD⊥BF,则AD⊥平面PBF;又∵正六边形ABCDEF的边长为1,∴,
,
。
过O在平面POB内作OH⊥PB于H,连AH、DH,则AH⊥PB,DH⊥PB,所以为所求二面角平面角。
在中,OH=
,
=
。
在中,
;
而
(Ⅱ)以O为坐标原点,建立空间直角坐标系,P(0,0,1),A(0,,0),B(
,0,0),D(0,2,0),∴
,
,
设平面PAB的法向量为,则
,
,得
,
;
设平面PDB的法向量为,则
,
,得
,
;
(20)(本大题满分12分)已知函数在R上有定义,对任何实数
和任何实数
,都有
(Ⅰ)证明;(Ⅱ)证明
其中
和
均为常数;
(Ⅲ)当(Ⅱ)中的时,设
,讨论
在
内的单调性并求极值。
证明(Ⅰ)令,则
,∵
,∴
。
(Ⅱ)①令,∵
,∴
,则
。
假设时,
,则
,而
,∴
,即
成立。
②令,∵
,∴
,
假设时,
,则
,而
,∴
,即
成立。∴
成立。
(Ⅲ)当时,
,
令,得
;
当时,
,∴
是单调递减函数;
当时,
,∴
是单调递增函数;
所以当时,函数
在
内取得极小值,极小值为
(21)(本大题满分12分)数列的前
项和为
,已知
(Ⅰ)写出与
的递推关系式
,并求
关于
的表达式;
(Ⅱ)设,求数列
的前
项和
。
解:由得:
,即
,所以
,对
成立。
由,
,…,
相加得:
,又
,所以
,当
时,也成立。
(Ⅱ)由,得
。
而,
,
(22)(本大题满分14分)如图,F为双曲线C:的右焦点。P为双曲线C右支上一点,且位于
轴上方,M为左准线上一点,
为坐标原点。已知四边形
为平行四边形,
。
(Ⅰ)写出双曲线C的离心率
与
的关系式;
(Ⅱ)当时,经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点,若
,求此时的双曲线方程。
解:∵四边形是
,∴
,作双曲线的右准线交PM于H,则
,又
,
。
(Ⅱ)当时,
,
,
,双曲线为
四边形
是菱形,所以直线OP的斜率为
,则直线AB的方程为
,代入到双曲线方程得:
,
又,由
得:
,解得
,则
,所以
为所求。
(13)设常数,
展开式中
的系数为
,则
_____。
解:,由
,所以
,所以为1。
(14)在中,
,M为BC的中点,则
_______。(用
表示)
解:,
,所以
。
(15)函数对于任意实数
满足条件
,若
则
__________。
解:由
得
,所以
,则
。
(16)多面体上,位于同一条棱两端的顶点称为相邻的,如图,正方体的一个顶点A在平面内,其余顶点在
的同侧,正方体上与顶点A相邻的三个顶点到
的距离分别为1,2和4,P是正方体的其余四个顶点中的一个,则P到平面
的距离可能是:
①3; ②4; ③5; ④6; ⑤7
以上结论正确的为______________。(写出所有正确结论的编号)
解:如图,B、D、A1到平面的距离分别为1、2、4,则D、A1的中点到平面
的距离为3,所以D1到平面
的距离为6;B、A1的中点到平面
的距离为
,所以B1到平面
的距离为5;则D、B的中点到平面
的距离为
,所以C到平面
的距离为3;C、A1的中点到平面
的距离为
,所以C1到平面
的距离为7;而P为C、C1、B1、D1中的一点,所以选①③④⑤。
(1)复数等于( )
A.
B.
C.
D.
解:故选A
(2)设集合,
,则
等于( )
A.
B.
C.
D.
解:,
,所以
,故选B。
(3)若抛物线的焦点与椭圆
的右焦点重合,则
的值为( )
A.
B.
C.
D.
解:椭圆的右焦点为(2,0),所以抛物线
的焦点为(2,0),则
,故选D。
(4)设,已知命题
;命题
,则
是
成立的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解:命题是命题
等号成立的条件,故选B。
(5)函数 的反函数是( )
A. B.
C.
D.
解:有关分段函数的反函数的求法,选C。
(6)将函数
的图象按向量
平移,平移后的图象如图所示,则平移后的图象所对应函数的解析式是( )
A. B.
C. D.
解:将函数的图象按向量
平移,平移后的图象所对应的解析式为
,由图象知,
,所以
,因此选C。
(7)若曲线的一条切线
与直线
垂直,则
的方程为( )
A. B.
C.
D.
解:与直线垂直的直线
为
,即
在某一点的导数为4,而
,所以
在(1,1)处导数为4,此点的切线为
,故选A
(8)设,对于函数
,下列结论正确的是( )
A.有最大值而无最小值 B.有最小值而无最大值
C.有最大值且有最小值 D.既无最大值又无最小值
解:令,则函数
的值域为函数
的值域,又
,所以
是一个减函减,故选B。
(9)表面积为 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上,则此球的体积为
A. B.
C.
D.
解:此正八面体是每个面的边长均为的正三角形,所以由
知,
,则此球的直径为
,故选A。
(10)如果实数满足条件
,那么
的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
解:当直线过点(0,-1)时,
最大,故选B。
(11)如果的三个内角的余弦值分别等于
的三个内角的正弦值,则( )
A.和
都是锐角三角形 B.
和
都是钝角三角形
C.是钝角三角形,
是锐角三角形
D.是锐角三角形,
是钝角三角形
解:的三个内角的余弦值均大于0,则
是锐角三角形,若
是锐角三角形,由
,得
,那么,
,所以
是钝角三角形。故选D。
(12)在正方体上任选3个顶点连成三角形,则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为( )
A.
B.
C.
D.
解:在正方体上任选3个顶点连成三角形可得个三角形,要得直角非等腰三角形,则每个顶点上可得三个(即正方体的一边与过此点的一条面对角线),共有24个,得
,所以选C。
2006年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)理科数学
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上书写作答无效。
(17)、(本大题满分12分)
已知
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的值。
(18)、(本大题满分12分)
在添加剂的搭配使用中,为了找到最佳的搭配方案,需要对各种不同的搭配方式作比较。在试制某种牙膏新品种时,需要选用两种不同的添加剂。现有芳香度分别为0,1,2,3,4,5的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理,通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。用表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和。
(Ⅰ)写出的分布列;(以列表的形式给出结论,不必写计算过程)
(Ⅱ)求的数学期望
。(要求写出计算过程或说明道理)
(19)、(本大题满分12分)
如图,P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点,,P在平面ABC内的射影为BF的中点O。
(Ⅰ)证明⊥
;
(Ⅱ)求面与面
所成二面角的大小。
(20)、(本大题满分12分)
已知函数在R上有定义,对任何实数
和任何实数
,都有
(Ⅰ)证明;
,
(Ⅱ)证明
其中
和
均为常数;
,
(Ⅲ)当(Ⅱ)中的时,设
,讨论
在
内的单调性并求极值。
(21)、(本大题满分12分)
数列的前
项和为
,已知
(Ⅰ)写出与
的递推关系式
,并求
关于
的表达式;
(Ⅱ)设,求数列
的前
项和
。
(22)、(本大题满分14分)
如图,F为双曲线C:
的右焦点。P为双曲线C右支上一点,且位于
轴上方,M为左准线上一点,
为坐标原点。已知四边形
为平行四边形,
。
(Ⅰ)写出双曲线C的离心率与
的关系式;
(Ⅱ)当时,经过焦点F且品行于OP的直线交双曲线于A、B点,若
,求此时的双曲线方程。
普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。全卷满分150分,考试时间120分钟。
参考公式:
如果时间A、B互斥,那么
如果时间A、B相互独立,那么
如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
球的表面积公式,其中R表示球的半径
球的体积公式,其中R表示球的半径
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
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