1．若函数，则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．4　　　　　　　　　　　　 B．－4　　　　　　　　　　　 C．1　　　　　　　　　　　　　 D．－1

(17)[解]∵ 　∴　　　　……(4分)

　　于是∠C＝60°，或∠C＝120°.　　　　　　　　　　　　　　　　　 　……(6分)

　　又

　　　　　　　 当　∠C＝60°时，　　　　　　　　 ……(9分)

　　　　　　　 当　∠C＝120°时，　　　……(12分)

(18)　[解法一]由已知　　　　……(4分)

根据直角的不同位置，分两种情况：

若∠PF₂F₁为直角，则

即　

得　故　　　……(9分)

若∠F₁PF₂为直角，则

即　

得　故　　　……(12分)

[解法二]　由椭圆的对称性不妨设P(x，y)　(x>0，y>0)，

则由已知可得　　　　　　　　　　　　 　　　　 ……(4分)

根据直角的不同位置，分两种情况：

若∠PF₂F₁为直角，则

于是故　　　　　……(9分)

若∠F₁PF₂为直角，则，

解得即

于是故　　　　……(12分)

(说明：两种情况，缺少一种扣3分)

(19)(1)[证明]如图，以O为原点建立空间直角坐标系。

　　　　　　　 设AE＝BF＝x，则

　　　 A’(a，0，a)、F(a－x，a，0)、C’(0，a，a)、E(a，x，0)

　 　　　　　　　　　　　　　　　 ……(4分)

　∵　

　∴　A’F⊥C’E.

　　　 (2)[解]记BF=x，BE＝y，则　x+y=a，

三棱锥B’－BEF的体积

当且仅当时，等号成立。

因此，三棱锥B’－BEF的体积取得最大值时，　……(10分)

过B作BD⊥EF交EF于D，连B’D，可知B’D⊥EF.

∴ ∠B’DB是二面角B’－EF－B的平面角。

在直角三角形BEF中，直角边是斜边上的高，

∴　

故二面角B’－EF－B的大小为　　　　　　　　　　　　　 ……(14分)

(20)[解]　(1)∵　z是方程的根，

　　∴　z₁=i 　或　z₂=－i.　　　　　　　　 ……(2分)

　　不论 z₁=i 　或　z₂=－i，　　

　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……(8分)

　　　 于是 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……(10分)

　　　 (2)取，则及

　　于是

　　　　 或取(说明：只需写出一个正确答案。)　

(21)[解](1)f(0)=1表示没有用水洗时，蔬菜上的农药量将保持原样。　……(2分)

(2)函数f(x)应该满足的条件和具有的性质是：

　 在[0,+∞]上f(x)单调递减，且0<f(x)≤1.　　　　　　　　　　　　　 ……(8分)

　(3)设仅清洗一次，残留的农药量为

　 清洗两次后，残留的农药量为　　……(12分)

　则

　于是，当时，f₁>f₂;

　　　　　 当时，f₁＝f₂;

　　　当时，f₁<f₂;

当时，清洗两次后残留的农药量较少；

　　　当时，两种清洗方法具有相同的效果；

　　　当时，一次清洗残留的农药量较少.　　　 ……(16分)

(22)[解](1)∵　f(x)的定义域D＝(－∞，－1)∪(－1，+∞)，∴　数列{x_n}只有三项：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　 ……(3分)

(2)∵　，即　

　∴　x＝1，或x＝2.

　 　即当x₀=1或2时，

　　故当x₀=1时，x_n=1; 当x₀=2时，x_n=2　　 (n∈N).　　　　 ……(9分)

　(3)(证法一)设x_n<0　 (n∈N).

由 　得

　　　 　得

　　 得

　　 ∵　 　　∴　 同时使x₁、x₂、x₃为负数的x₀不存在。

　　 故所求的x₀不存在。　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……(18分)

(13)C　　　　　　　　 (14)A　　　　　　　 (15)D　　　　　　　　 (16)D

(1)3．　　　　　　　　　　 (2)　153　　　　　　　　　 (3)x²－4y²＝1.　　　　 　　 (4)1

(5)　　　　 　　 (6)(0，7)　　　　　 (7)7　　　　　　　　　　　　　　　　 (8)15

(9)　　　　　　　 (10)A₃

(11)设圆方程：　 ①，

　　　　 　②

(a≠c或b≠d)，则由①－②，得两圆的对称轴方程。

(12)

3．第17题至第22题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题的累加分数，给分或扣分均以1分为单位。

解答

2．评阅试卷，就坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响决定后面的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。

(17)(本题满分12分)

已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，S是△ABC的面积。若a=4，b=5，，求c的长度.

[解]

(18)(本题满分12分)

设F₁、F₂为椭圆的两个焦点，P为椭圆上的一点，已知P、F₁、F₂是一个直角三角形的三个顶点，且|PF₁|>|PF₂|，求的值.

(解)

(19)(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

在棱长为a的正方体OABC－O’A’B’C’中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE=BF.

(1)求证：A’F⊥C’E;

(2)当三棱锥B’－BEF的体积取得最大值时，求二面角B’－EF－B的大小。(结果用反三角函数表示)

(1)[证明]

(2)[解]

(20)(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分10分，第2小题满分4分.

对任意一人非零复数z，定义集合

(1)设z是方程的一个根.试用列举法表示集合M_z，若在M_z中任取两个数，求其和为零的概率P;

(2)若集合M_z中只有3个元素，试写出满足条件的一个z值，并说明理由.

　[解] (1)

(2)　

(21)(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分2分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上。设用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f(x).

(1)试规定f(0)的值，并解释其实际意义；

(2)试根据假定写出函数f(x)应该满足的条件和具有的性质；

(3)设。现有a(a>0)单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较省？说明理由。

[解](1)

(2)

(3)

(22)(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.

对任意函数f(x)，x∈D，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：

①输入数据x₀∈D，经按列发生器，其工作原理如下：

②若x₁∈D，则数列发生器结束工作；若x₁∈D，则将x₁反馈回输入端，再输出x₂= f(x₁)，并依此规律继续下去，现定义.

(1)若输入，则由数列发生器产生数列{x_n}。请写出数列{x_n}的所有项：

(2)若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始数据x₀的值；

(3)若输入x₀时，产生的无穷数列{x_n}满足；对任意正整数n，均有x_n > x_n+1，求x₀的取值范围。

[解](1)

(2)

(3)

数学试卷(类)答案要点及评分标准

说明：

1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分。

(13)a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a－1)y=a－7平行且不重合的

　　　 　 (A)充分非必要条件　　　　　　　　　　　　 (B)必要非充分条件

　　　 　 (C)充要条件　　　　　　　　　　　　　　　　　 (D)既非充分也非必要条件

(14)如图，在平行六面体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，M为AC与BD的交点.若则下列向量中与相等的向量是

(A)　　　　　　　　　　　　　　　 (B)

(C)　　　　　　　　　　　　　　　　 (D)

(15)已知a、b为两条不同的直线，α、β为两上不同的平面，且a⊥α、b⊥β，则下列命题中的假命题是

　 (A)若a∥b，则a∥β.　　　　　　　　　　　　　 (B)若α⊥β，则a⊥b.

　 (C)若a、b相交，则α、β相交.　　　　　 (D)若α、β相交，则a、b相交.　

(16)用计算器验算函数的若干个值，可以猜想下列命题中的真命题只能是

　　 (A)在(1，+∞)上是单调减函数

　　 (B)，x∈(1，+∞)有最小值

　　 (C)，x∈(1，+∞)的值域为

　　 (D)

(1) 设函数，则满足的x值为　　　　　　　 .

(2)设数列{a _n}的首项a₁=－7，则满足则a₁+a₂+…+a₁₇= 　　　　　　.

(3)设P为双曲线上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是　　　　　　　　　　　　　　　　　　 .

(4)设集合，则A∩B的元素个数为　　　　　　　 个.

(5)抛物线x²－4y－3=0的焦点坐标为　　　　　　　 　　　.

(6)设数列{a _n}是公比q>0的等比数列，S_n是它的前n项和，若，则此数列的首项a₁的取值范围是　　　　　　　　 .

(7)某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种。现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种　　　　　　　 种.(结果用数值表示)

(8)在的二项展开式中，常数项为　　　　　　　　　　 .

(9)设x=sin α，且，则arccosx的取值范围是　　　　　　 .

(10)利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是　　　　.

自然状况	方案 盈利(万元) 概率	A1	A2	A3	A4
S1	0.25	50	70	-20	98
S2	0.30	65	26	52	82
S3	0.45	26	16	78	-10

(11)已知两个圆：①与②，则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程。将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例。推广的命题为：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　.

(12)据报道，我国目前已成为世界上受荒漠化危害最严重的国家之一，左下图表示我国土地沙化总面积在上个世纪五六十年代、七八十年代、九十年代的变化情况，由图中的相关信息，可将上述有关年代中，我国年平均土地沙化面积在右下图中图示为：

(17)本小题主要考查等差数列，一元二次方程与不等式的基本知识．考查综合运用数学基础知识的能力．满分12分．

解：依题意，有，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……2分

　　　 　 由方程有实根，得

　　　　　　　　　　 　 ，

即　　　 ，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……6分

整理，得，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……8分

解得　　 ，

∴　　　 ．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……12分

(18)本小题主要考查函数的基本性质，考查推理能力．满分12分．

解：函数的定义域为．

内是减函数内也是减函数．　　　　　　　　　 ……4分

证明内是减函数．

取，且，那么

　 　　　　　　　　　　　 　　，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……6分

∵　　 ，

∴　　 ，

即内是减函数．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……9分

同理可证内是减函数．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……12分

(19)本小题考查复数的基本概念和运算．满分12分．

解：(Ⅰ)由　

　　　　　　　　　　 　，

　 得．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……4分

　 因为　 ，

　 所以　 ．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……6分

　 (Ⅱ)因为，

　 所以　 ，而，所以，

　 ，同理，

　 ．

　 由(Ⅰ)知　 ，

　 即　 ，

　 所以　　　 的实部为，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……8分

　 而的辐角为时，复数的实部为

　　　　　 ，

　 所以　 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……12分

(20)本小题考查运用直线与直线、直线与平面的基本性质证明线面关系的能力．满分12分．

(Ⅰ)证明：由已知，

　　　 　 ，

　　　 　 ∴．

　　　 　 ∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……2分

　　　 　 又V、M、N、D都在VNC所在平面内，

所以，DM与VN必相交，且，

∴∠MDC为二面角的平面角．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……4分

(Ⅱ)证明：由已知，∠MDC=∠CVN，

在中，

∠NCV=∠MCD，

又∵∠VNC=，

∴∠DMC=∠VNC=．

故有，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……6分

∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　 ……8分

(Ⅲ)解：由(Ⅰ)、(Ⅱ)，

，

∴．

又∵∠．

在中，

．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……10分

　　　　　　 　 ．　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……12分

(21)本小题主要考查建立函数关系、运用不等式的性质和解法等数学知识解决实际问题的能力．满分12分．

解：(Ⅰ)由题意得，

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……4分

　 整理得 ．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……6分

　 (Ⅱ)要保证本年度的利润比上年度有所增加，必须

即　　　　 　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……9分

　 解不等式得 ．

　 答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例应满足．　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……12分

(22)本小题考查直线与抛物线的基本概念及位置关系，考查运用解析几何的方法解决数学问题的能力．满分14分．

解：(Ⅰ)直线的方程为：，

将　　 ，

得　　 ．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……2分

设直线与抛物线两个不同交点的坐标为、，

则　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……4分

又，

∴　　

　　　　　　 ．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……6分

∵　　 ，

∴　　 ．

解得　 ．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……8分

(Ⅱ)设，由中点坐标公式，得

　　　 　　 ，

　　　　 ．　　　　　　　　　　　　　　　 ……10分

∴　　　 ．

又 为等腰直角三角形，

∴　　　 ．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……14分