(四)排列、组合的混合问题

排列、组合的混合问题，主要指既与组合有关，又与排列有关的应用问题.如分配问题.　

例6　 六本不同的书,按下列条件,各有多少种不同的分法?

(1) 分为三堆,每堆2本；

(2) 分为三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本；

(3) 分给甲、乙、丙三人，每人2本；

(4) 分给甲、乙、丙三人，一人得1本，一人拿2本，一人得3本；

(5) 分给甲、乙、丙三人，每人至少得1本.

评析　 本例属分配问题，解这类问题的基本思路是先分组，再分配，即先组合、后排列．同时注意在分组时，若出现平均分组(即两组元素个数相同)的情况，则要除以组数(即平均分组的数目)的阶乘．

例6　 (1)分别从4所学校选拔6名报告员，每校至少1人，有多少种不同的选法？

(2) 将6名报告员分配到4所学校去做报告，每校至少1人，有多少种不同的分配方法？

评析 　两小题看以类似，但第(1)小题的选取元素为学校；第(2)小题的选取元素为报告员，解题时要注意区分分组时，组合的对象--即元素是什么．

(三)排列应用题

例2 　4位学生与2位教师并坐合影留念．(1)教师必须坐在中间；(2)教师不能坐在两端，但要坐在一起；(3)教师不能坐在两端，且不能相邻．各有多少种不同的坐法？(1)_{；(2)；(3)144}

评析　 (1) “在与不在”、“邻与不邻”是带限制条件的排列应用题的两种重要题型，处理这类问题的基本思路，有“直接”、“间接”之分．

(2) 对“在与不在”问题，优先考虑受限制的特殊元素或特殊位置的思想方法，是解题的基本策略；而处理“邻与不邻”问题，使用捆绑和插空法是十分有效的．

(3) 关于“元素和问题”的认识，是排列、组合概念中的一个重要问题，解题总是从元素或位置出发，要注意即使在同一问题中，把什么看作元素(或位置)并不是一成不变的．　

例3　 用0，1，2，3，4，5 六个数字，可以组成多少个没有重复数字的：(1)首数是奇数的五位偶数？(2) 五位奇数？(3)五位偶数？

(二)加法原理与乘法原理

这是两个基本原理，它们不仅是推导排列数公式、组合数公式的基础，而且可以直接运用它们去解决某些问题．两个原理的区别是前者与分类有关，与元素的顺序有关；后者与分步有关，与元素的顺序无关；．

例1　 (1)有红、黄、白色旗子各n面(n＞3)，取其中一面、二面、三面组成纵列信号，可以有多少不同的信号？

(2) 有1元、5元、10元的钞票各一张，取其中一张或几张，能组成多少种不同的币值？

　　 (1) 解　 因为纵列信号有上、下顺序关系，所以是一个排列问题，信号分一面、二面、三面三种情况(三类)，各类之间是互斥的，所以用加法原理：①升一面旗，共有3种信号；②升二面旗，要分两步，连续完成每一步，信号方告完成，而每步又是独立的事件，故用乘法原理，因同色旗子可重复使用，故共有3×3种信号；③升三面旗，有3×3×3种信号．所以共有39种信号．

(2) 解法　 计算币值与顺序无关，所以是一个组合问题，有取一张、二张、三张、四张四种情况，它们彼此是互斥的，用加法原理．因此，不同币值有 ＝15(种)

评析　 (1) 排列、组合的区别在于顺序性，前者“有序”而后者“无序”；加法原理与乘法原理的区别在于联斥性，前者“斥”--互斥独立事件，后者“联”--相依事件．因而有“顺序”决“问题”，“联斥”定“原理”的说法．

(2)加、乘原理是排列、组合问题的理论依据，在分析问题和指导解题中起着关键作用，运用加法原理的关键在于恰当地分类(分情况)，要使所分类别既不遗漏，也不重复；运用乘法原理的关键在于分步，要正确设计分步的程序，使每步之间既互相联系，又彼此独立．

(一)本来的主要内容结构

1. 掌握加法原理及乘法原理，并能运用这两个原理分析和解决一些简单的问题．　　 2. 理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的问题．　 3. 掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题．

17、如图，是底面边长为的正三棱锥，、、分别为棱、、上的点，截面底面，且棱台与棱锥的棱长和相等。(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)

(1)证明：为正四面体；

(2)若，求二面角的大小；(结果用反三角函数值表示)

(3)设棱台的体积为，是否存在体积为且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台有相同的棱长和？若存在，请具体构造一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由。

16、如图，将边长为的正方形剪去图中的阴影部分，沿图中所画虚线折成一个正三棱锥。这个正三棱锥侧棱与底面所成角的余弦值是　　　　　　

15、在的二面角内，放一个半径为的球切两半平面于、两点，那么这两个切点在球面上最短距离是　　

14、已知球的表面积为，有两个平行截面的面积分别为和，则这两个平行截面间的距离是　　　

13、正四面体的侧面与底面所成二面角的余弦值是