题目列表(包括答案和解析)
(15)(本小题满分12分)
记函数的定义域为集合M,函数
的定义域为集合
.求
(Ⅰ)集合M,;
(Ⅱ)集合.
(16)(本小题满分14分)
如图,正三角形ABC的边长为3,过其中心G作BC边的平行线,分别交AB,AC于
.将
沿
折起到
的位置,使点
在平面
上的射影恰是线段BC的中点M.求
(Ⅰ)二面角的大小;
(Ⅱ)异面直线与
所成角的大小(用反三角函数表示).
(17)(本小题满分14分)
已知是等比数列,
;
是等差数列,
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)求数列的前
项和
的公式;
(Ⅲ)设,
其中n=1,2,…,试比较与
的大小,并证明你的结论
(18)(本小题满分14分)
如图,O为坐标原点,直线
在
轴和
轴上的截距分别是
和
(
),且交抛物线
于
,
两点.
(Ⅰ)写出直线的截距式方程;
(Ⅱ)证明:
(Ⅲ)当时,求
的大小
(19)(本小题满分13分)
经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内,某公路段汽车的车流量(千辆/小时)与汽车的平均速度
/(千米/小时)之间的函数关系为
(Ⅰ)在该时段内,当汽车的平均速度为多少时,车流量最大?最大车流量为多少? (精确到0.1千辆/小时)
(Ⅱ)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时,则汽车的平均速度应在什么范围内?
(20)(本小题满分13分)
现有一组互不相同且从小到大排列的数据:其中
.为提取反映数据间差异程度的某种指标,今对其进行如下加工:记
,
,
作函数
,使其图象为逐点依次连接点
的折线.
(Ⅰ)求和
的值;
(Ⅱ)设的斜率为
,判断
的大小关系;
(Ⅲ)证明:当时,
;
(Ⅳ)求由函数y=x与的图象所围成图形的面积(用
表示).
(9)
.
(10)已知,那么
的值为 ,
的值为 .
(11)若圆与直线
相切,且其圆心在
轴的左侧,则m的值为 .
(12)如图,正方体
的棱长为
.将该正方体沿对角面
切成两块,再将这两块拼接成一个不是正方体的四棱柱,那么所得四棱柱的全面积为 .
(13)从-1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数的系数,可组成不同的二次函数共有 个,其中不同的偶函数共有 个(用数字作答).
(14)若关于的不等式
的解集为
,则实效
的取值范围是 ;若关于
的不等式
的解集不是空集,则实数
的取值范围是 .
(1)的共轭复数是
A. B.
C.
D.
(2)函数的图象是
(3)有如下三个命题:
①分别在两个平面内的两条直线-定是异面直线;
②垂直于同一个平面的两条直线是平行直线;
③过平面。的一条斜线有一个平面与平面。垂直.
其中正确命题的个数为
A.0 B.1 C.2 D.3
(4)如果函数的最小正周期是
,且当
时取得最大值,那么
A. B.
C.
D.
(5)设.“
”是“曲线
为椭圆”的
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件
(6)已知双曲线的两个焦点为,
,
是此双曲线上的一点,且
,
,则该双曲线的方程是
A. B.
C.
D.
(7)在中,已知
,那么
一定是
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形
(8)若不等式对于任意正整数n恒成立,则实数
的取值范围是
A. B.
C.
D.
第Ⅱ卷
(15)(本小题满分12分)
记函数
的定义域为集合M,函数
的定义域为集合
.求
(Ⅰ)集合M,;
(Ⅱ)集合.
(16)(本小题满分14分)
如果正三棱锥S-ABC中,底面的边长为3,棱锥的侧面积等于底面积的2倍,M是BC的中点。求
(Ⅰ)的值 (Ⅱ)二面角
的大小;
(Ⅲ)正三棱锥S-ABC的体积.
(17)(本小题满分14分)
已知是等比数列,
;
是等差数列,
(Ⅰ)求数列的通项公式及前
项和
的公式;
(Ⅱ)求数列的通项公式;
(Ⅲ)设,其中n=1,2,…,求
的值
(18)(本小题满分14分)
如图,O为坐标原点,过点
且斜率为
的直线
交抛物线
于
,
两点.
(Ⅰ)写出直线的方程;
(Ⅱ)求与
的值
(Ⅲ)求证:
(19)(本小题满分13分)
经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内,某公路段汽车的车流量(千辆/小时)与汽车的平均速度
/(千米/小时)之间的函数关系为
(Ⅰ)在该时段内,当汽车的平均速度为多少时,车流量最大?最大车流量为多少? (精确到0.1千辆/小时)
(Ⅱ)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时,则汽车的平均速度应在什么范围内?
(20)(本小题满分13分)
现有一组互不相同且从小到大排列的数据:其中
.为提取反映数据间差异程度的某种指标,今对其进行如下加工:记
,
,
作函数
,使其图象为逐点依次连接点
的折线.
(Ⅰ)求和
的值;
(Ⅱ)设的斜率为
,判断
的大小关系;
(Ⅲ)证明:;
(Ⅳ)求由函数y=x与的图象所围成图形的面积(用
表示).
(9)
.
(10)椭圆的离心率是
,准线方程是
。
(11)已知,那么
的值为 ,
的值为 .
(12)如图,正方体
的棱长为
.将该正方体沿对角面
切成两块,再将这两块拼接成一个不是正方体的四棱柱,那么所得四棱柱的全面积为 .
(13)从-1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数的系数,可组成不同的二次函数共有 个,其中不同的偶函数共有 个(用数字作答).
(14)若关于的不等式
的解集为
,则实效
的取值范围是 ;
(1)的共轭复数是
A. B.
C.
D.
(2)函数的图象是
(3)下列命题中,正确的是:
A.经过不同的三点有且只有一个平面 B.分别在两个平面内的两条直线-定是异面直线 C.垂直于同一个平面的两条直线是平行直线 D.垂直于同一个平面的两个平面平行
(4)如果函数的最小正周期是
,且当
时取得最大值,那么
A. B.
C.
D.
(5) “”是“曲线
为双曲线”的
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件
(6)直线被圆
所截得的线段的长为
A.1 B. C.
D. 2
(7)在中,已知
,那么
一定是
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形
(8)若不等式对于任意正整数n恒成立,则实数
的取值范围是
A. B.
C.
D.
第Ⅱ卷
(17)(本小题满分12分)
解不等式:.
(18)(本小题满分12分)
已知函数,求f(x)的定义域,判断它的奇偶性,并求其值域.
(19)(本小题满分12分)
如图,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面边长为,侧棱长为4.E,F分别为棱AB,BC的中点,
.
(Ⅰ)求证:平面B1EF⊥平面BDD1B1;
(Ⅱ)求点D1到平面B1EF的距离d;
(Ⅲ)求三棱锥B1-EFD1的体积V.
(20)(本小题满分12分)
某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时,可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护需50元.
(Ⅰ)当每辆车的月租金定为3600元时,能租出多少辆车?
(Ⅱ)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?
(21)(本小题满分13分)
如图,在边长为l的等边△ABC中,圆O1为△ABC的内切圆,圆O2与圆O1外切,且与AB,BC相切,…,圆On+1与圆On外切,且与AB,BC相切,如此无限继续下去.记圆On的面积为an(n∈N).
(Ⅰ)证明{an}是等比数列;
(Ⅱ)求的值.
(22)(本小题满分13分)
已知动圆过定点P(1,0),且与定直线l:x=-1相切,点C在l上.
(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹M的方程;
(Ⅱ)设过点P,且斜率为的直线与曲线M相交于A,B两点.
(ⅰ)问:△ABC能否为正三角形?若能,求点C的坐标;若不能,说明理由;
(ⅱ)当△ABC为钝角三角形时,求这种点C的纵坐标的取值范围.
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(13)如图,一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的
水.若放入一个半径为r的实心铁球,水面高度恰好升
高r,则____________.
(14)在某报《自测健康状况》的报道中,自测血压结果与相
应年龄的统计数据如下表,观察表中数据的特点,用适当的数填入表中空白(____)内.
年龄(岁) |
30 |
35 |
40 |
45 |
50 |
55 |
60 |
65 |
收缩压(水银柱 毫米) |
110 |
115 |
120 |
125 |
130 |
135 |
(___) |
145 |
舒张压(水银柱 毫米) |
70 |
73 |
75 |
78 |
80 |
83 |
(___) |
88 |
(15)如图,F1,F2分别为椭圆
的左、右焦点,点P
在椭圆上△POF2是面积为的正三角形,则b2的值是
_________________.
(16)若存在常数p>0,使得函数f(x)满足(x∈R),则f(x)的一个正周期为_____________.
(1)若集合M={y | y=2-x},,则
(2)若,则方程f(4x)=x的根是
(A) (B)
(C)
(D)-2
(3)设复数z1=-1+i,,则
(A)
(B)
(C)
(D)
(4)函数的最大值是
(A) (B)
(C)
(D)
(5)在同一坐标系中,方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0(a>b>0)的曲线大致是
(6)若A,B,C是△ABC的三个内角,且A<B<C(),则下列结论中正确的是
(A)sinA<sinC (B)cosA<cosC
(C)tanA<tanC (D)cotA<cotC
(7)椭圆(j为参数)的焦点坐标为
(A)(0,0),(0,-8) (B)(0,0),(-8,0)
(C)(0,0),(0,8)
(D)(0,0),(8,0)
(8)如图,在正三角形ABC中,D,E,F分别为各边的中点, G,
H,I,J分别为AF,AD,BE,DE的中点.将△ABC沿DE,EF,
DF折成三棱锥以后,GH与IJ所成角的度数为
(A)90° (B)60° (C)45° (D)0°
(9)某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同插法的种数为
(A)42 (B)30 (C)20 (D)12
(10)已知直线ax+by+c=0(abc≠0)与圆x2+y2=1相切,则三条边长分别为| a |,| b |,| c |的三角形
(A)是锐角三角形 (B)是直角三角形
(C)是钝角三角形 (D)不存在
(11)若不等式| ax+2 | < 6的解集为(-1,2),则实数a等于
(A)8 (B)2 (C)-4 (D)-8
(12)在直角坐标系xOy中,已知△AOB三边所在直线的方程分别为x=0,y=0,2x+3y=30,则△AOB内部和边上整点(即横、纵坐标均为整数的点)的总数是
(A)95 (B)91
(C)88 (D)75
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
(六)二项式定理
内容:1 的展开式、项数、
的指数。
2 展开式中的通项公式
3 各项系数和的求法及各项二项式系数和的求法。
4 二项式系数最要的项,是第几项?(由n的奇偶性讨论)
5 注意展开式的逆用。
6 用二项式定理求近似值;证明整除问题。
例7 已知的展开式前三项中的x的系数成等差数列.
① 求展开式里所有的x的有理项;
② 求展开式中二项式系数最大的项.
评析 (1) 把握住二项展开式的通项公式,是掌握二项式定理的关键.除通项公式外,还应熟练掌握二项式的指数、项数、展开式的系数间的关系、性质.
(2) 应用通项公式求二项展开的特定项,如求某一项,含x某次幂的项,常数项,有理项,系数最大的项等,一般是应用通项公式根据题意列方程,在求得n或r后,再求所需的项(要注意n和r的数值范围及大小关系).
(3) 注意区分展开式“第r+1项的二项式系数”与“第r+1项的系数”.
例8 (’96 全国)某地现有耕地1000公顷.规划10年后粮食单产比现在增加22%,人均粮食占有量比现在提高10%,如果人口年增长率为1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷(精确到1公顷)?
解 设耕地平均每年至少只能减少x公顷,又设该地区现有人口为P人,粮食单产为M顷.
答:按规划该地区耕地每年至多只能减少4公顷.
评析 二项式定理的应用十分广泛,主要有以下四个方面:求展开式的特定项;近似计算;证明整除性和不等式;证明组合数等式或求和.本例的最后运用了二项展开式进行近似计算.
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