4. “”是“函数在区间上为增函数”的

A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件　 C．充要条件　 D．既不充分也不必要条件

3. 过平行六面体任意两条棱的中点作直线, 其中与平面平行的直线共有

　 A．4条　　　　　　　 B．6条　　　　　 C．8条　　　　　　　 D．12条

2. 若数列满足: , 且对任意正整数都有, 则

　 A．　　　　　　　　 B．　　　　　　 C．　　　　　　　 D．

1. 函数的定义域是

　　 A．　　　　　 B．　　　　 C．　　　　　 D．

21．(本小题满分14分)

设是函数的一个极值点。

(Ⅰ)、求与的关系式(用表示)，并求的单调区间；

(Ⅱ)、设，。若存在使得成立，求的取值范围。

　点评：本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力。

解：(Ⅰ)f `(x)＝－[x²+(a－2)x+b－a ]e^3－x,

由f `(3)=0，得 －[3²+(a－2)3+b－a ]e^3－3＝0，即得b＝－3－2a，

则 f `(x)＝[x²+(a－2)x－3－2a－a ]e^3－x

＝－[x²+(a－2)x－3－3a ]e^3－x＝－(x－3)(x+a+1)e^3－x.

令f `(x)＝0，得x₁＝3或x₂＝－a－1，由于x＝3是极值点，

所以x+a+1≠0，那么a≠－4.

当a<－4时，x₂>3＝x₁，则

在区间(－∞，3)上，f `(x)<0， f (x)为减函数；

在区间(3，―a―1)上，f `(x)>0，f (x)为增函数；

在区间(―a―1，+∞)上，f `(x)<0，f (x)为减函数。

当a>－4时，x₂<3＝x₁，则

在区间(－∞，―a―1)上，f `(x)<0， f (x)为减函数；

在区间(―a―1，3)上，f `(x)>0，f (x)为增函数；

在区间(3，+∞)上，f `(x)<0，f (x)为减函数。

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，当a>0时，f (x)在区间(0，3)上的单调递增，在区间(3，4)上单调递减，那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[min(f (0)，f (4) )，f (3)]，

而f (0)＝－(2a+3)e³<0，f (4)＝(2a+13)e^－1>0，f (3)＝a+6，

那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[－(2a+3)e³，a+6].

又在区间[0，4]上是增函数，

且它在区间[0，4]上的值域是[a²+，(a²+)e⁴]，

由于(a²+)－(a+6)＝a²－a+＝()²≥0，所以只须仅须

(a²+)－(a+6)<1且a>0，解得0<a<.

故a的取值范围是(0，)。

20．(本小题满分14分)

设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线。

(Ⅰ)、求椭圆的方程；

(Ⅱ)、设为右准线上不同于点(4，0)的任意一点，若直线分别与椭圆相交于异于的点，证明点在以为直径的圆内。

(此题不要求在答题卡上画图)

点评：本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。

解：(Ⅰ)依题意得 a＝2c，＝4，解得a＝2，c＝1，从而b＝.

故椭圆的方程为 .

(Ⅱ)解法1：由(Ⅰ)得A(－2，0)，B(2，0).设M(x₀，y₀).

∵M点在椭圆上，∴y₀＝(4－x₀²).　　　　　　　　　　　 1

又点M异于顶点A、B，∴－2<x₀<2，由P、A、M三点共线可以得

P(4，).

从而＝(x₀－2，y₀)，

＝(2，).

∴·＝2x₀－4+＝(x₀²－4+3y₀²).　　　 2

将1代入2，化简得·＝(2－x₀).

∵2－x₀>0，∴·>0，则∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角，

故点B在以MN为直径的圆内。

解法2：由(Ⅰ)得A(－2，0)，B(2，0).设M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，

则－2<x₁<2，－2<x₂<2，又MN的中点Q的坐标为(，)，

依题意，计算点B到圆心Q的距离与半径的差

－＝(－2)²+()²－[(x₁－x₂)²+(y₁－y₂)²]

　　　　　　　　 ＝(x₁－2) (x₂－2)+y₁y₁　　　　　　　　 　　3

又直线AP的方程为y＝，直线BP的方程为y＝，

而点两直线AP与BP的交点P在准线x＝4上，

∴，即y₂＝　　　　　　　　　　　 4

又点M在椭圆上，则，即　　　　 5

于是将4、5代入3，化简后可得－＝.

从而，点B在以MN为直径的圆内。

19．(本小题满分10分)

在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布。已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12名。

(Ⅰ)、试问此次参赛学生总数约为多少人？

(Ⅱ)、若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？

可共查阅的(部分)标准正态分布表

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1.2 1.3 1.4 1.9 2.0 2.1	0.8849 0.9032 0.9192 0.9713 0.9772 0.9821	0.8869 0.9049 0.9207 0.9719 0.9778 0.9826	0.888 0.9066 0.9222 0.9726 0.9783 0.9830	0.8907 0.9082 0.9236 0.9732 0.9788 0.9834	0.8925 0.9099 0.9251 0.9738 0.9793 0.9838	0.8944 0.9115 0.9265 0.9744 0.9798 0.9842	0.8962 0.9131 0.9278 0.9750 0.9803 0.9846	0.8980 0.9147 0.9292 0.9756 0.9808 0.9850	0.8997 0.9162 0.9306 0.9762 0.9812 0.9854	0.9015 0.9177 0.9319 0.9767 0.9817 0.9857

点评：本小题主要考查正态分布，对独立事件的概念和标准正态分布的查阅，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力。

解：(Ⅰ)设参赛学生的分数为，因为-N(70，100)，由条件知，

P(≥90)＝1－P(<90)＝1－F(90)＝1－＝1－(2)＝1－0.9772＝0.228.

这说明成绩在90分以上(含90分)的学生人数约占全体参赛人数的2.28%，因此，

参赛总人数约为≈526(人)。

(Ⅱ)假定设奖的分数线为x分，则

P(≥x)＝1－P(<x)＝1－F(90)＝1－＝＝0.0951，

即＝0.9049，查表得≈1.31，解得x＝83.1.

故设奖得分数线约为83.1分。

18．(本小题满分12分)

如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，。

(Ⅰ)、试确定，使直线与平面所成角的正切值为；

(Ⅱ)、在线段上是否存在一个定点Q，使得对任意的，D₁Q在平面上的射影垂直于，并证明你的结论。

点评：本小题主要考查线面关系、直线于平面所成的角的有关知识及空间想象能力和推理运算能力，考查运用向量知识解决数学问题的能力。

解法1：(Ⅰ)连AC，设AC与BD相交于点O,AP与平面相交于点，,连结OG，因为

PC∥平面，平面∩平面APC＝OG,

故OG∥PC，所以，OG＝PC＝.

又AO⊥BD,AO⊥BB1，所以AO⊥平面，

故∠AGO是AP与平面所成的角.

在Rt△AOG中，tanAGO＝，即m＝.

所以，当m＝时，直线AP与平面所成的角的正切值为.

(Ⅱ)可以推测，点Q应当是A_IC_I的中点O₁，因为

D₁O₁⊥A₁C₁, 且 D₁O₁⊥A₁A ，所以 D₁O₁⊥平面ACC₁A₁，

又AP平面ACC₁A₁，故 D₁O₁⊥AP.

那么根据三垂线定理知，D₁O₁在平面APD₁的射影与AP垂直。

17．(本小题满分13分)

已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。

(Ⅰ)、求数列的通项公式；

(Ⅱ)、设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；

点评：本小题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。

解：(Ⅰ)设这二次函数f(x)＝ax²+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得

a=3 ,　 b=－2, 所以　 f(x)＝3x²－2x.

又因为点均在函数的图像上，所以＝3n²－2n.

当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝(3n²－2n)－＝6n－5.

当n＝1时，a₁＝S₁＝3×1²－2＝6×1－5，所以，a_n＝6n－5 ()

(Ⅱ)由(Ⅰ)得知＝＝，

故T_n＝＝＝(1－).

因此，要使(1－)<()成立的m,必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.

16．(本小题满分12分)

设函数，其中向量，，，。

(Ⅰ)、求函数的最大值和最小正周期；

(Ⅱ)、将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的。

　 点评：本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力。

　 解：(Ⅰ)由题意得，f(x)＝a·(b+c)=(sinx,－cosx)·(sinx－cosx,sinx－3cosx)

　　　　　　　 ＝sin²x－2sinxcosx+3cos²x＝2+cos2x－sin2x＝2+sin(2x+).

所以，f(x)的最大值为2+，最小正周期是＝.

(Ⅱ)由sin(2x+)＝0得2x+＝k.，即x＝,k∈Z，

于是d＝(，－2)，k∈Z.

因为k为整数，要使最小，则只有k＝1，此时d＝(―，―2)即为所求.