周期函数的定义:对于
定义域内的每一个
,都存在非零常数
,使得
恒成立,则称函数
具有周期性,
叫做
的一个周期,
则(
)也是
的周期,所有周期中的最小正数叫
的最小正周期.
几种特殊的抽象函数:具有周期性的抽象函数:
函数满足对定义域内任一实数
(其中
为常数),
①
,则
是以
为周期的周期函数;
②,则
是以
为周期的周期函数;
③,则
是以
为周期的周期函数;
④,则
是以
为周期的周期函数;
⑤,则
是以
为周期的周期函数.
⑥,则
是以
为周期的周期函数.
⑦,则
是以
为周期的周期函数.
⑧函数满足
(
),若
为奇函数,则其周期为
,
若为偶函数,则其周期为
.
⑨函数的图象关于直线
和
都对称,则函数
是以
为周期的周期函数;
⑩函数的图象关于两点
、
都对称,则函数
是以
为周期的周期函数;
⑾函数的图象关于
和直线
都对称,则函数
是以
为周期的周期函数;
(
天津)在
上定义的函数
是偶函数,且
,若
在区间
是减函数,则函数
在区间
上是增函数,区间
上是增函数
在区间
上是增函数,区间
上是减函数
在区间
上是减函数,区间
上是增函数
在区间
上是减函数,区间
上是减函数
(
辽宁文)函数
的单调增区间为( )
(
福建)已知函数
为
上的减函数,则满足
的实数
的范围是
(
天津)在
上定义的函数
是偶函数,且
,若
在区间
上是减函数,则
在区间
上是增函数,在区间
上是增函数
在区间
上是增函数,在区间
上是减函数
在区间
上是减函数,在区间
上是增函数
在区间
上是减函数,在区间
上是减函数
(
重庆)已知定义域为
的函数
在
上为减函数,且函数
为偶函数,则
(
山东)下列函数既是奇函数,又在区间
上单调递减的是
(
天津)若函数
在区间
内单调递增,
则的取值范围是
(
重庆)若函数
是定义在
上的偶函数,在
上是减函数,且
,
则使得的
的取值范围是
;
;
;
(
北京文)已知
是
上的增函数,那么
的取值范围是
(
以前)已知
若
试确定
的单调区间和单调性.
(
全国Ⅰ文)设
为实数,函数
在
和
都是增函数,求
的取值范围。
(
安徽文)设函数
,已知
是奇函数。(Ⅰ)求
、
的值。(Ⅱ)求
的单调区间与极值。
利用函数单调性定义证明:
=
在
上是减函数
函数
在
上为增函数,则实数
的取值范围
下列函数中,在区间
上是增函数的是
已知
在
上是
的减函数,则
的取值范围是
为
上的减函数,
,则
如果奇函数
在区间
上是增函数,且最小值为
,那么在区间
上是
增函数且最小值为
增函数且最大值为
减函数且最小值为
减函数且最大值为
已知
是定义在
上的偶函数,它在
上递减,那么一定有
≥
≤
已知
是偶函数,且在
上是减函数,则
是增函数的区间是
(
湖南文)若
与
在区间
上都是减函数,则
的取值范围是( )
(
上海)若函数
在
上为增函数,则实数
、
的范围是
已知偶函数
在
内单调递减,若
,
,
,则
、
、
之间的大小关系是_____________
已知奇函数
是定义在
上的减函数,若
,求实数
的取值范围.
已知函数
,求函数
的定义域,并讨论它的奇偶性和单调性.
设
,
是
上的偶函数.
求
的值;
证明
在
上为增函数.
(
北京东城模拟)函数
对任意的
,都有
,
并且当时
.
求证:
是
上的增函数;
若
,解不等式
已知函数
的定义域是
的一切实数,对定义域内的任意
都有
,且当
时
,
求证:
是偶函数;
在
上是增函数;
解不等式
.
函数
的递增区间是
已知
是
上的奇函数,且在
上是增函数,则
在
上的单调性为
已知奇函数
在
单调递增,且
,则不等式
的解集是
若函数
在区间
上是减函数,则实数
的取值范围是
函数
在递增区间是
,则
的递增区间是
问题1.(全国,节选
)设函数
,其中
.
略;
求证:当
≥
时,函数
在区间
上是单调函数
问题2.已知函数在区间
上是增函数,试求
的取值范围
问题3.求下列函数的单调区间:
问题4.若函数
在
单调递增,且
,则实数
的取值范
围是
若
,则不等式
<
的解集为
问题5.(山东模拟)设
是定义在
上的函数,且对任意实数
、
都有
.求证:
是奇函数;
若当
时,有
,
则在
上是增函数.
讨论函数单调性必须在其定义域内进行,因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域,函数的单调区间是定义域的子集;
判断函数的单调性的方法有:
用定义;
用已知函数的单调性;
利用函数的导数;
如果
在区间
上是增(减)函数,那么
在
的任一非空子区间上也是增(减)函数
图象法;
复合函数的单调性结论:“同增异减”
奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性,偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性.
互为反函数的两个函数具有相同的单调性.
在公共定义域内,增函数
增函数
是增函数;减函数
减函数
是减函数;增函数
减函数
是增函数;减函数
增函数
是减函数。
函数
在
上单调递增;
在上是单调递减。
证明函数单调性的方法:
利用单调性定义①;
利用单调性定义②
函数单调性的定义:
①如果函数对区间
内的任意
,当
时都有
,则
在
内是增函数;当
时都有
,则
在
内时减函数。
②设函数在某区间
内可导,若
,则
为
的增函数;若
,则
为
的减函数.
单调性的定义①的等价形式:
设,那么
在
是增函数;
在
是减函数;
在
是减函数。
复合函数单调性的判断.
函数单调性的应用.利用定义都是充要性命题.
即若在区间
上递增(递减)且
(
);
若在区间
上递递减且
.(
).
①比较函数值的大小②可用来解不等式.③求函数的值域或最值等
(
全国)已知函数
,若
,则
(
全国Ⅰ文)已知函数
,若
为奇函数,则
(
江苏)已知
,函数
为奇函数,则
(
辽宁)设
是
上的任意函数,下列叙述正确的是( )
是奇函数
是奇函数
是偶函数
是偶函数
(
辽宁文)已知
为奇函数,若
,则
(
广东)若函数
,则
是( )
最小正周期为
的奇函数
最小正周期为
的奇函数
最小正周期为
的偶函数
最小正周期为
的偶函数
(
海南)设函数
为奇函数,则
(
海南文)设函数
为偶函数,则
(
江苏)设
是奇函数,则使
的
的取值范围是
(
江西)设函数
是
上以
为周期的可导偶函数,则曲线
在处的切线的斜率为
设
为实数,函数
,
.
讨论
的奇偶性;
求
的最小值.
(
上海,本题满分
分)已知函数
,常数
.
讨论函数
的奇偶性,并说明理由
若
在
上是增函数,求
的取值范围.
判断下列函数的奇偶性:
;
;
;
;
(其中
,
)
(
南昌模拟)给出下列函数①
②
③
④
,
其中是奇函数的是( ) ①②
①④
②④
③④
已知函数
在
是奇函数,且当
时,
,则
时,
的解析式为_______________
(
上海春)已知函数
是定义在
上的偶函数.当
时,
,则当
时,
已知
为
上的奇函数,当
时,
,那么
的值为
若
为偶函数,
为奇函数,且
,则
,
定义在
上的函数
是奇函数,则常数
____,
_____
(
北京西城模拟)已知函数
对一切
,都有
,
求证:
为奇函数;
若
,用
表示
.
(
重庆文)已知定义域为
的函数
是奇函数。
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若对任意的,不等式
恒成立,求
的取值范围;
设
是定义在
上的奇函数,且
,又当
≤
≤
时,
,
证明:直线
是函数
图象的一条对称轴;
当
时,求
的解析式
已知函数
,
是偶函数,则
已知
为奇函数,则
的值为
已知
,其中
为常数,若
,
则_______
若函数
是定义在
上的奇函数,则函数
的图象关于
轴对称
轴对称
原点对称
以上均不对
函数
是偶函数,且
不恒等于零,则
是奇函数
是偶函数
可能是奇函数也可能是偶函数
不是奇函数也不是偶函数
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