例3  点P与定点F（2，0）的距离和它到直线x=8的距离比是1：3,求动点P与定点距离的最值。

    错解：设动点P(x,y)到直线x=8的距离为d，则

    即

    两边平方、整理得

    =1    （1）

    由此式可得：

    因为

    所以

    剖析  由上述解题过程知,动点P(x,y)在一椭圆上，由椭圆性质知，椭圆上点的横纵坐标都是有限制的，上述错解在于忽视了这一取值范围，由以上解题过程知，的最值可由二次函数在区间上的单调性给予解决

    即：当时，

    例4  已知双曲线的离心率e=, 过点A（）和B(a,0)的直线与原点的距离为,直线y=kx+m与该双曲线交于不同两点C、D，且C、D两点都在以A为圆心的同一圆上，求m 的取值范围。

    错解  由已知，有

    解之得：

    所以双曲线方程为

    把直线 y=kx+m代入双曲线方程，并整理得：

    所以(1)

    设CD中点为，

    则APCD，且易知：

    所以

      (2)

    将(2)式代入(1)式得

    解得m>4或

    故所求m的范围是

    剖析  上述错解，在于在减元过程中，忽视了元素之间的制约关系，将代入(1) 式时，m受k的制约。

    因为

    所以

    故所求m的范围应为

    m>4或

    例5  椭圆中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率,已知点P（）到椭圆上的点最远距离是，求这个椭圆的方程。

    错解   设所求椭圆方程为

    因为

    所以a=2b

    于是椭圆方程为

    设椭圆上点M（x,y）到点P 的距离为d,

    则：

    所以当时，

    有

    所以所求椭圆方程为

    剖析  由椭圆方程

    得

    由(1)式知是y的二次函数，

    其对称轴为

    上述错解在于没有就对称轴在区间内或外进行分类，

    其正确应对f(y)=的最值情况进行讨论：

    （1）当，即时

    =7

    ,方程为

    （2）当,

    即时，

    ，与矛盾。

    综上所述，所求椭圆方程为

    五、忽视判别式法。

    例 6 已知双曲线,问过点A（1，1）能否作直线,使与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由。

    错解  设符合题意的直线存在，并设、

    则

    （1）得

    因为A（1，1）为线段PQ的中点，

    所以

    将(4)、(5)代入（3）得

    若，则直线的斜率

    所以符合题设条件的直线存在。

    其方程为

    剖析  在（3）式成立的前提下，由(4)、（5）两式可推出(6)式，但由(6)式不能推出(4)(5)两式，故应对所求直线进行检验，上述错解没有做到这一点，故是错误的。

    应在上述解题的基础上，再由

    得

    根据,说明所求直线不存在。

    六、忽视斜率不存在的情况。

    例7  已知椭圆，F为它的右焦点，直线过原点交椭圆C于A、B两点。求是否存在最大值或最小值？若不存在，说明理由。

    错解 设A、B两点坐标分别为、

    因为

    所以

    又椭圆中心为（1，0）,右准线方程为x=5

    所以

    即

    同理

    所以

    设直线的方程为y=kx，代入椭圆方程得

    所以

    代入(1)式得

    所以

    所以|有最小值3,无最大值。

    剖析  上述错解过程忽视了过原点斜率不存在的直线，当的斜率不存在时，有

   所以有最小值为 3，最大值为25/4