2．函数是中学数学的重要内容，像一条红线贯穿在整个中学数学之中，函数这一单元的知识有五个特点：

    （1）内容的丰富性：“函数”这一单元包括函数的概念和记号，函数的定义域、值域和对应规律，函数的图像，函数的单词性、奇偶性和周期性，反函数、指数函数和对数函数，此外，一次函数、二次函数、反比例函数虽然是在初中所学，但在高中阶段的“函数”一章中完成它的深化过程。

  （2）强烈的渗透性：函数网络具有强大的渗透和辐射功能，函数与中学数学中的绝大部分内容都有联系，与数列、不等式、解析几何、复数、立体几何等均有着千丝万缕的联系．

  （3）高度的思想性：“函数”这一章蕴含着中学数学中重要的数学思想，如函数的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想、化归思想等。

  （4）与高等数学衔接的紧密性：函数与极限、微分、积分、概率、统计等数学内容联系非常紧密。

  （5）知识的应用性：函数知识在日常生活、生产、科学技术及其他学科中有着广泛的应用。

       对函数及其性质这部分内容的考查，可分横向和纵向两个方面，横向涉及的函数有：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等基本初等函数；还有由基本初等函数迭加和复合成的一次分式、二次分式函数以及复合函数等．纵向即函数的性质：定义(解析式、定义域、值域)、单调性、奇偶性、最值、周期性、对称性等．

    函数问题几乎涉及中学数学所有数学思想和方法，如数形结合思想、函数与方程的思想、分类讨论思想和等价转化的思想等．解函数问题用到很多典型的数学方法，如配方法、待定系数法、数学归纳法、消元法、反证法、比较法、代人法等．因此，学好中学数学，提高高考复习效率，函数这部分内容是基础，也是重点．

本章重点解决以下四个问题：

1．       准确地理解函数有关的概念；

2．       充分揭示函数与其它知识的联系；

3．       熟练运用函数思想，分类讨论思想和数形结合思想解题；

4． 深刻认识函数的实质，强化应用意识。

上述四个问题同时也是本章的难点。

    1．在复习中首先把握基础性知识，深刻理解本单元的基本知识点、基本数学思想和基本数学方法．重点掌握集合、充分条件与必要条件的概念和运算方法．要真正掌握数形结合思想――用文氏图解题．

    2．涉及本单元知识点的高考题，综合性大题不多．所以在复习中不宜做过多过高的要求，只要灵活掌握小型综合题型(如集合与映射，集合与自然数集，集合与不等式，集合与方程等，充分条件与必要条件与三角、立几、解几中的知识点的结合等) 映射的概念以选择题型出现，难度不大。就可以了

3．活用“定义法”解题。定义是一切法则与性质的基础，是解题的基本出发点。利用定义，可直接判断所给的对应是否满足映射或函数的条件，证明或判断函数的单调性与奇偶性并写出函数的单调区间等。

    4．重视“数形结合”渗透。“数缺形时少直观，形缺数时难入微”。当你所研究的问题较为抽象时，当你的思维陷入困境时，当你对杂乱无章的条件感到头绪混乱时，一个很好的建议便是：画个图!利用图形的直观性，可迅速地破解问题，乃至最终解决问题。

    5．实施“定义域优先”原则。函数的定义域是函数最基本的组成部分，任何对函数性质的研究都离不开函数的定义域。例如，求函数的单调区间，必须在定义域范围内；通过求出反函数的定义域，可得到原函数的值域；定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要条件。为此，应熟练掌握求函数定义域的原则与方法，并贯彻到解题中去。

   6．强化“分类思想”应用。指数函数与对数函数的性质均与其底数是否大于1有关；对于根式的意义及其性质的讨论要分清n是奇数还是偶数等。

专题一：集合、映射、简易逻辑与函数

【经典题例】

例1：给出下列四个命题：

   （1）函数y=a^x（a＞0且a≠1）与函数的定义域相同：

   （2）函数y=x³与y=3^x的值域相同；

   （3）函数都是奇函数；

   （4）函数y=(x－1)²与y=2^x－1在区间上都是增函数.

其中正确命题的序号是    ①③         .（把你认为正确的命题序号都填上）

[简要评述]

通过这几种命题的真假判断，进一步增强学生对比学习意识和数形结合思想

例2：已知f（x）是偶函数，且f（1）=993，g（x）=f（x―1）是奇函数

求f（2005）的值。(993)

[简要评述]

利用抽象形式推理出函数的重要性质（以4为周期）

例3：关于的方程

（1）       对于任意当且仅当恒有实数解；key：

（2）       当且仅当时恰有两个实数解；key：

（3）       当且仅当时由无穷多个实数解；key：或

（4）       当且仅当时无实数解。Key：且

[简要评述]

通过此题分析增强学生的属性结合思想意识，培养灵活机动的思维品质。

例4：已知集合，若A∪B=A，则符合条件的m的实数值组成的集合

是  __________key:

[简要评述]

在高考应试能力中，，审题是关键，通过此题训练学生思维的严谨性。

例5：已知函数.

（1）证明：函数在上为增函数；

（2）用反证法证明方程没有负数根.

 [思路分析]

证明：设

又在上是增函数。  ，

由（1）（2）得即上是增函数。

（反证法）设存在负数根，：，则

_，又矛盾，所以假设不成立。

则没有负数根。

[简要评述]通过（1）的证明让学生在处理函数单调性的证明时，能充分利用几种基本函数的性质直接处理，同时增强应变能力训练，通过（2）的证明使学生增强对反证法这种重要数学思想方法的认识。

例6：设.

（1）求的反函数；

（2）若时，不等式恒成立，试求实数的取值范围.

[思路分析]

（1）

（2）

，显然

    当时，

    当时，

，综上所述：

[简要评述]

该题考查学生对函数与不等式的结合点的认识与处理能力，培养学生的转化能力及分类讨论思想。

例7：高三某班52名学生全部参加绿化美化环境的志愿者行动，这次行动要求完成栽400株花和种200棵树的任务，据经验如果栽花每个学生每小时可以栽3株，如果植树每个学生每小时可以值1棵，现在把这52名学生分成甲乙两组，甲组只栽花，乙组只植树，并且同时开始工作，为了在最短时间内完成这项任务，两组各应安排多少名同学？并论述这种分组的合理性。

解：设甲组人，乙组人，且，

据已知，栽花总用时为小时，植树总用时为小时，

这样完成整个任务的时间，应该是和的较大者，

在区间[1，52]上，函数为减函数，为增函数，为使整体最少，应有||最小，不妨先解，得

因为不是整数，所以要比较两函数在临近整数的函数值，

当时，||；

当时，||。

因此，甲组为21人，乙组为31人，完成任务时间最短。

 [简要评述]

增强应用意识，提高学生学习数学的兴趣

例8：已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，

有f (x＋T)=T f (x)成立．

     （1）函数f (x)= x 是否属于集合M？说明理由；

（2）设函数 f (x)= a ^x (a＞0，且a≠1)的图象与y=x的图象有公共点，证明：f (x) = a ^x∈M.

[思路分析] (1)对于非零常数T，f (x＋T)=x＋T， Tf (x)=Tx．

因为对任意x∈R，x＋T= Tx不能恒成立，所以f(x)=

(2)因为函数f (x) = a ^x(a＞0且a≠1)的图象与函数y=x的图象有公共点，

所以方程组：有解，消去y得a^x=x，

显然x=0不是方程a^x=x的解，所以存在非零常数T，使a^T=T．

于是对于f (x)=a^x有 故f (x) = a ^x∈M．

 [简要评述]

开放性、探索性问题是当今高考热点问题，通过此题培养学生科学探索精神。

【热身冲刺】

1．已知集合则（  D  ）

       （A）  （B）  （C）A=B        （D）

2．“p或q是假命题”是“非p为真命题”的                              （  A  ）   

（A）充分而不必要条件               （B）必要而不充分条件

（C）充要条件                                      （D）既不充分也不必要条件

3．已知函数，若，则                （  B  ）

（A）         （B）         （C）           （D）

4．已知函数，集合A={},B={，

则的元素个数为                                         （  C  ）

（A）0         （B）1         （C）0或1           （D）1或2

5．在x克a%的盐水中，加入y克b%的盐水，浓度变成c%(a,b>0,a≠b)，则x与y的函数关系式是                                                          （  B  ）

（A）y=x      （B）y=x     （C）y=x     （D）y=x

6．已知(2，1)在函数f(x)=的图象上，又知f^－1=1，则f(x)等于 （  A  ）

（A）  （B）   （C）  （D）            

7．函数的图象                     （  C  ）

（A）关于原点对称                （B）关于直线x=0对称 

（C）关于点（1，0）对称          （D）关于直线x=1对称

8． 设函数的反函数为，若，则是 （  B  ）

（A）上增函数             （B）上增函数

（C）上减函数               （D）上减函数

9．若函数的定义域R分成了四个单调区间，则实数满足                                                                  (  C  )

  （A）  （B）  （C）  （D）

10．已知命题：若是无穷等差数列的前项和，则点列在一条抛物线上，

   命题：若实数则的解集是R。又知是的逆否命题，

是的逆命题，那么下列判断正确的是                               （ C ）

（A）是假命题，是真命题             （B）是真命题，是真命题

（C）是假命题，是假命题             （D）是真命题，是假命题

11．下列命题（1），

中正确的是      （1）（3）（5）          （把所有错误的序号全填上）

12．方程的解集为   {2}           

13．设A=，B=，定义是A到B的函数，

是B到A的映射，若，则=            

14．设函数

15．已知函数，的积，

   求：解析式，并画出其图象；  

解：

图略

16．.函数的定义域为集合，关于的不等式的解集为，求使的实数的取值范围.

解：，

则当时，；当时，B=R；当时，

又，则

，成立，

综上所述：

17．对于函数，当时，的最大值为，

   试用反证法证明：

证明：假设，则，所以可得

，由（2）（3）得

与（1）矛盾,所以原命题成立。

18．已知函数的值域是[1，9]，试求函数的定义域和值域。

解：的定义域为R，令，则有

若，由得即。

且，。

若，取，则成立。

，而恒成立，

又

函数的定义域为R，值域是

19．是否存在常数，使，在上是减函数，且在

上是增函数？

提示：由题意知是函数的一个极值点，由

令得，故

当时，为减函数；

当时，为增函数，适合题意

20． 已知集合A={x|x²＋3x＋2 ≥0}，B={x|mx²－4x＋m－1＞0 ，m∈R}， 若A∩B=，

且A∪B=A，试求实数m的取值范围．

[思路分析]由已知A={x|x²＋3x＋2}，得得：

(1)∵A非空 ，∴B=；
(2)∵A={}，∴另一方面，，

于是上面(2)不成立，否则，与题设矛盾．由上面分析知，B=．

由已知B=，结合B=，

得对一切x恒成立，于是，

有的取值范围是