3.排序

排序的算法很多，课本主要介绍里两种排序方法：直接插入排序和冒泡排序

(1)直接插入排序

在日常生活中，经常碰到这样一类排序问题：把新的数据插入到已经排好顺序的数据列中。

例如：一组从小到大排好顺序的数据列{1，3，5，7，9，11，13}，通常称之为有序列，我们用序号1，2，3，……表示数据的位置，欲把一个新的数据8插入到上述序列中。

完成这个工作要考虑两个问题：

(1)确定数据“8”在原有序列中应该占有的位置序号。数据“8”所处的位置应满足小于或等于原有序列右边所有的数据，大于其左边位置上所有的数据。

(2)将这个位置空出来，将数据“8”插进去。

对于一列无序的数据列，例如：{49，38，65，97，76，13，27，49}，如何使用这种方法进行排序呢？基本思想很简单，即反复使用上述方法排序，由序列的长度不断增加，一直到完成整个无序列就有序了

首先，{49}是有序列，我们将38插入到有序列{49}中，得到两个数据的有序列：

{38，49}，

然后，将第三个数据65插入到上述序列中，得到有序列：

{38，49，65}

…………

按照这种方法，直到将最后一个数据65插入到上述有序列中，得到

{13，27，38，49，49，65，76，97}

这样，就完成了整个数据列的排序工作。注意到无序列“插入排序算法”成为了解决这类问题的平台

(2)冒泡法排序

所谓冒泡法排序，形象地说，就是将一组数据按照从小到大的顺序排列时，小的数据视为质量轻的，大的数据视为质量沉的。一个小的数据就好比水中的气泡，往上移动，一个较大的数据就好比石头，往下移动。显然最终会沉到水底，最轻的会浮到顶，反复进行，直到数据列排成为有序列。以上过程反映了这种排序方法的基本思路。

我们先对一组数据进行分析。

设待排序的数据为：{49，38，65，97，76，13，27，49}

排序的具体操作步骤如下：

2．秦九韶算法

秦九韶算法的一般规则：

秦九韶算法适用一般的多项式f(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+….+a₁x+a₀的求值问题。用秦九韶算法求一般多项式f(x)= a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+….+a₁x+a₀当x=x₀时的函数值，可把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题，即求

v₀=a_n

v₁=a_nx+a_n－1

v₂=v₁x+a_n－2

v₃=v₂x+a_n－3

……..

v_n=v_n－1x+a₀

观察秦九韶算法的数学模型，计算v_k时要用到v_k－1的值，若令v₀=a_n。

我们可以得到下面的递推公式：

v₀=a_n

v_k=v_k－1+a_n－k(k=1,2,…n)

这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，可以用循环结构来实现

1．求最大公约数

(1)短除法

求两个正整数的最大公约数的步骤：先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是两个互质数为止，然后把所有的除数连乘起来

(2)穷举法(也叫枚举法)

穷举法求两个正整数的最大公约数的解题步骤：从两个数中较小数开始由大到小列举，直到找到公约数立即中断列举，得到的公约数便是最大公约数

(3)辗转相除法

辗转相除法求两个数的最大公约数，其算法可以描述如下：

① 输入两个正整数m和n；

② 求余数r：计算m除以n，将所得余数存放到变量r中；

③更新被除数和余数：m=n，n=r；

④判断余数r是否为0。若余数为0，则输出结果；否则转向第②步继续循环执行

如此循环，直到得到结果为止。

(4)更相减损术

我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。在《九章算术》中记载了更相减损术求最大公约数的步骤：可半者半之，不可半者，副置分母•子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之

步骤：

Ⅰ．任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。

Ⅱ．以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)就是所求的最大公约数。

算法是高中数学新课程中的新增内容，本讲的重点是几种重要的算法案例思想，复习时重算法的思想轻算法和程序的构造。

预测2010年高考队本讲的考察是：以选择题或填空题的形式出现，分值在5分左右，考察的热点是算法实例和传统数学知识的结合题目

32．(湖北卷)某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加了其中一组。在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%。登山组的职工占参加活动总人数的，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%。为了了解各组不同的年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本。试确定

(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；

(2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数

本小题主要考查分层抽样的概念和运算，以及运用统计知识解决实际问题的能力.

解　 (1)设登山组人数为，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a、b、c，则有，解得b=50%,c=10%.

故a=100%－50%－10%=40%,即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%、

50%、10%。

(2)游泳组中，抽取的青年人数为(人)；抽取的中年人数为

50%＝75(人)；抽取的老年人数为10%＝15(人)

0.7100+0.35=70.35

故耗能减少了90-70.35=19.65(吨)

30．(2007广东理)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗 (吨标准煤)的几组对照数据

　　 (1)请画出上表数据的散点图；

　　 (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；

　　 (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性

回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?

　 　(参考数值：)

　解 　(1)如下图

(2)=32.5+43+54+64.5=66.5

==4.5

==3.5

=+++=86

故线性回归方程为y=0.7x+0.35

(3)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为

28．(2007湖南文)(本小题满分12分)在生产过程中，测得纤维产品的纤度(表示纤维粗细的一种量)共有100个数据，将数据分组如右表：

(1)在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系中画出频率分布直方图；

(2)估计纤度落在中的概率及纤度小于的概率是多少？

(3)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间的中点值

是)作为代表．据此，估计纤度的期望．

分组	频数
合计

解　 (Ⅰ)

分组	频数	频率
	4	0.04
	25	0.25
	30	0.30
	29	0.29
	10	0.10
	2	0.02
合计	100	1.00

(Ⅱ)纤度落在中的概率约为，纤度小于1.40的概率约为．

(Ⅲ)总体数据的期望约为

27．(2007湖南文)根据某水文观测点的历史统计数据，得到某条河流水位的频率分布直方图(如图2)．从图中可以看出，该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

A．48米　　　　 B．49米　　 C．50米 　　　　 D．51米

　　 答案　 C