题目列表(包括答案和解析)
5.(1)
(2)存在实数λ,其值为
19.湖北省部分重点中学2005年春季期中联考
如图,ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,
PA=AD=a,AB=a,E是线段PD上的点,F是线段AB
上的点,且.
(I)当时,求直线EF与平面ABCD所成角的正弦值:
(Ⅱ)是否存在实数λ,使异面直线EF与CD所成角为
60°?若存在,试求出λ的值;若不存在,请说明
理由.
5.(1)∵AB⊥平面BCD, ∴AB⊥CD,∵CD⊥BC且AB∩BC=B, ∴CD⊥平面ABC. 3分
又∴不论λ为何值,恒有EF∥CD,∴EF⊥平面ABC,EF平面BEF,
∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC. 6分
(2)由(Ⅰ)知,BE⊥EF,又平面BEF⊥平面ACD,
∴BE⊥平面ACD,∴BE⊥AC. 8分 ∵BC=CD=1,∠BCD=90°,∠ADB=60°,
∴ 10分
由AB2=AE·AC 得
故当时,平面BEF⊥平面ACD. 12分
5.[2005年高考重庆地区信息试卷数学试题]
已知△BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,
∠ADB=60°,E、F分别是AC、AD上的动点,且
(Ⅰ)求证:不论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC;
(Ⅱ)当λ为何值时,平面BEF⊥平面ACD?
4.[北 京 四 中2005年数学第一次统测(理科)] 如图,分别是正方体的棱上的点. (1)若,求证:无论点在上如何移动,总有; (2)若,且平面,求二面角的大小. 4.(I)证法一:连AC、BD,则BD⊥AC, ∵, ∴MN//AC,∴BD⊥MN. 又∵DD1⊥平面ABCD,∴DD1⊥MN, ∴MN⊥平面BDD1. ∵无论点P在DD1上如何移动,总有BP平面BDD1, 故总有MN⊥BP. 证法二:连结AC、BD,则AC⊥BD. ∵, ∴MN//AC,∴ MN⊥BD,又PD⊥平面ABCD, 由三垂线定理得:MN⊥PB. (II)解法一:过P作PG⊥C1C交CC1于G,连BG交B1N于O1, ∵PB⊥平面B1MN, ∴PB⊥B1N. 又∵PG⊥平面B1BCC1, ∴ BG⊥B1N,∴ΔBB1N≌ΔBCG, ∴ BN=CG,NC=GC1, ∴BN∶NC=DP∶PD1=2∶1. 同理BM∶MA=DP∶PD1=2∶1. 设AB=3a, 则BN=2a, ∴, , 连MO1,∵AB⊥平面B1BCC1, ∴ MO1⊥B1N, ∵∠MO1B就是二面角M-B1N-B的平面角, ,∴ . 解法二:设BD与MN相交于F,连结B1F, ∵PB⊥平面MNB1, ∴ PB⊥B1F,PB⊥MN, ∴在对角面BB1D1D内,ΔPBD∽ΔBB1F, 设BB1=DD1=3,则PD=2,,∴, 即,故. ∵MN⊥PB,由三垂线定理得MN⊥BD,MN//AC,MN=2BF=, BN=2, . 设二面角B-B1N-M的平面角为α,则, .
3.解:(1)当 (1分)
证明:取PD中点E,则EF//CD,且
∴四边形ABFE为平行四边形. (3分)
∴BF//AE. 又AE平面PAD ∴BF//平面PAD (4分)
(2)平面ABCD,即是二面角的平
面角 (5分)
为等腰直角三角形,
平面PCD 又BF//AE,平面PCD. 平面PBC,
∴平面PCD⊥平面PBC,即二面角B-PC-D的大小为90°. (8分)
(3)在平面PCD内作EH⊥PC于点H,由平面PCD⊥平面PBC且平面PCD
平面PBC=PC知:EH⊥平面PBC. (9分)
在,
在代入得:
即点E到平面PBC的距离为 (11分)
又点A到平面PBC的距离为(12分)
3.[哈尔滨三中东北育才大连育明 天津耀华2005年四校高考模拟联考]
如图已知四棱锥P-ABCD,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为直角梯形,∠A=90°且AB//CD,AB=CD.
(I)点F在线段PC上运动,且设为何值时,BF//平面PAD?并证明你的结论;
(Ⅱ)二面角F-CD-B为45°,求二面角B-PC-D的大小;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若AD=2,CD=3,求点A到平面PBC的距离.
2. 解:(1)取
…………3分
(2)取
的距离,由,则B到面的距离为K到面的距离的2倍 …………9分
另法一:利用体积相等,
另法二:可利用面
2.[哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学2005年高三第二次联合考试数学试卷(理科)]
已知直三棱柱中,,AB=BC=a,,M为上的点。
(1)当M在上的什么位置时,与平面所成的角为;
(2)在(1)的条件下求B到平面的距离。
1.解:(I)
异面直线AD、BC所成角为。 4分
(II)过点P作于E,过点E作于F,连结PF。
8分
。
设,则在中,,
在中,
在中,
11分
即P、B两点间距离为时,与所在平面成角。 12分
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