题目列表(包括答案和解析)
1.[2005年山东省临沂市数学模拟试题(文史类)]
如图所示,和都是等腰直角三角形,且它们所在的平面互相垂直,
(I)求异面直线AD、BC所成的角。
(II)设P是线段AB上的动点,问P、B两点间的距离多少时?与所在平面成角;
7.(江安中学)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=3,AA1=4,M为AA1的中点,P是BC上一点,且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M点的最短路线长为,设这条最短路线与C1C的交点为N。求
4) 该三棱柱的侧面展开图的对角线长;
5) PC和NC的长;
6) 平面NMP和平面ABC所成二面角(锐角)的大小(用反三角函数表示)
正解:①正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图是一个长为9,宽为4的矩形,其对角线长为
②如图1,将侧面BC1旋转使其与侧面AC1在同一平面上,点P运动到点P1的位置,连接MP1,则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过CC1到点M的最短路线。
设PC=,则P1C=,
在
③连接PP1(如图2),则PP1就是NMP与平面ABC的交线,作NH于H,又CC1平面ABC,连结CH,由三垂线定理得,。
误解:①不会找 的线段在哪里。
②不知道利用侧面BCC1 B1展开图求解。
③不会找二面角的平面角。
6.(江安中学)如图在三棱柱ABC-中,已知底面ABC是底角等于,底边AC=的等腰三角形,且,面与面ABC成,与交于点E。
1) 求证:;
2) 求异面直线AC与的距离;
3) 求三棱锥的体积。
正解:①证:取AC中点D,连ED,
//
又是底角等于的等腰,
②解:由①知
在是异面直线AC与的距离,为
③连
误解:求体积,不考虑用等积法,有时,硬算导致最后错解。
5.(蒲中)斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为a的正三角形,侧棱长等于b,一条侧棱AA1与底面相邻两边AB、AC都成450角,求这个三棱柱的侧面积。
解:过点B作BM⊥AA1于M,连结CM,在△ABM和△ACM中,∵AB=AC,∠MAB=∠MAC=450,MA为公用边,∴△ABM≌△ACM,∴∠AMC=∠AMB=900,∴AA1⊥面BHC,即平面BMC为直截面,又BM=CM=ABsin450=a,∴BMC周长为2xa+a=(1+)a,且棱长为b,∴S侧=(1+)ab
点评:本题易错点一是不给出任何证明,直接计算得结果;二是作直截面的方法不当,即“过BC作平面与AA1垂直于M”;三是由条件“∠A1AB=∠A1AC∠AA1在底面ABC上的射影是∠BAC的平分线”不给出论证。
4.(一中)点是边长为4的正方形的中心,点,分别是,的中点.沿对角线把正方形折成直二面角D-AC-B.
(Ⅰ)求的大小;
(Ⅱ)求二面角的大小.
解法一:(Ⅰ)如图,过点E作EG⊥AC,垂足为G,过点F作FH⊥AC,垂足为H,则,.
因为二面角D-AC-B为直二面角,
又在中,,
.
.
(Ⅱ)过点G作GM垂直于FO的延长线于点M,连EM.
∵二面角D-AC-B为直二面角,∴平面DAC⊥平面BAC,交线为AC,又∵EG⊥AC,∴EG⊥平面BAC.∵GM⊥OF,由三垂线定理,得EM⊥OF.
∴就是二面角的平面角.
在RtEGM中,,,,
∴.∴.
所以,二面角的大小为.
解法二:(Ⅰ)建立如图所示的直角坐标系O-xyz,
则,.
.
.
(Ⅱ)设平面OEF的法向量为.
由得
解得.
所以,.
又因为平面AOF的法向量为,
.∴.
所以,二面角的大小为.
3.(石庄中学)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AD=8,AA1=4,M为B1C1上一点,且B1M=2,点N在线段A1D上,A1D⊥AN,求: (1) ;
(2) 直线AD与平面ANM所成的角的大小;
(3) 平面ANM与平面ABCD所成角(锐角)的大小.
解:(1) 以A为原点,AB、AD、AA1所在直线 为x轴,y轴,z轴.
则D(0,8,0),A1 (0,0,4),M(5,2,4)
)
∵ ∴
(2) 由(1)知A1D⊥AM,又由已知A1D⊥AN,平面AMN,垂足为N.
因此AD与平面所成的角即是
易知
(3) ∵平面ABCD,A1N平面AMN,
∴分别成为平面ABCD和平面AMN的法向量。
设平面AMN与平面ABCD所成的角(锐角)为,则
2. (如中)一个棱长为6cm的密封正方体盒子中放一个半径为1cm的小球,无论怎样摇动盒子,求小球在盒子不能到达的空间的体积。
错解:认为是正方体的内切球。用正方体的体积减去内切球的体积。
错误原因是空间想像力不够。
正解:在正方体的8个顶点处的单位立方体空间内,小球不能到达的空间为:,除此之外,在以正方体的棱为一条棱的12个的正四棱柱空间内,小球不能到达的空间共为。其他空间小球均能到达。故小球不能到达的空间体积为:。
1. (如中)由平面外一点P引平面的三条相等的斜线段,斜足分别为ABC,O为⊿ABC的外心,求证:。
错解:因为O为⊿ABC的外心,所以OA=OB=OC,又因为PA=PB=PC,PO公用,所以⊿POA,⊿POB,⊿POC都全等,所以POA=POB=POC=RT,所以。
错解分析:上述解法中POA=POB=POC=RT,是对的,但它们为什么是直角呢?这里缺少必要的证明。
正解:取BC的中点D,连PD,OD,
29.(案中)点P在直径为2的球面上,过P作两两垂直的三条弦,若其中一条弦长是另一条弦长的2倍,则这三条弦长之和为最大值是
正确答案:
错误原因:找不到解题思路
28.(案中)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB和AD的中点,则点A1到平面为EF的距离为
正确答案:
错误原因:不少学生能想到用等积法解,但运算存在严重问题。
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