题目列表(包括答案和解析)
有一项是符合题目要求的.)
1.设p、q是两个命题,则“复合命题p或q为真,p且q为假”的充要条件是 ( )
A.p、q中至少有一个为真 B.p、q中至少有一个为假
C.p、q中有且只有一个为真 D.p为真,q为假
22.解(1)令m=-1,n=0则:f (–1)=f (–1)f (0),而f (–1)>1 ∴f(0)=1
令m=x>0,n= –x<0则f (x–x)=f (x)·f (–x)=1
∴f (x)=(0,1),即x>0时0<f (x)<1
设x1<x2则x2–x1=0 ∴0<f (x2–x1)·f (x1)–f (x1)=f (x1)[f (x2–x1)–1]<0 ∴f(x)<f(x1)
即y = f (x)在R上单调递减
(2)由f (an+1)=,nN* 得:f (an+1)·f (–2–an) =1
∴f (an+1–an–2) = f (0) 由(1)知:an+1–an–2=0
即an+1–an=2(nN*) ∴{an}是首项为a1=1,公差为2的等差数列
∴an=2n–1
(3)假设存在正数k,使(1+对nN*恒成立
记F(n)=
即 ∴F(n)是递增数列,F(1)为最小值。
由F(n)恒成立知k ∴kmax = .
22.(本小题满分14分)y = f (x)的定义域为R,对任意实数m、n有f (m+n) =,且当x<0时,,数列{an}满足且*)。 (1)求证:y = f (x)在R上单调递减; (2)求数列{an}的通项公式; (3)是否存在正数k,使·…,对一切n∈N*均成立,若存在,试求出k的最大值并证明,若不存在,说明理由。
21. 解:(I)由已知,解之得:…………(3分)
∴椭圆的方程为,双曲线的方程
又
∴双曲线的离心率………………(7分)
(II)由(I)
设则由得M为BP的中点
∴P点坐标为
将M、P坐标代入方程得:
消去得:
解之得:或(舍)
由此可得:………………(9分)
当P为时,
即:
代入,得:
或(舍)
MN⊥x轴,即………………(14分)
21.(本小题满分12分)已知椭圆的一条准线方程是,其左、右顶点分别是A、B;双曲线的一条渐近线方程为。
(I)求椭圆的方程及双曲线的离心率;
(II)在第二象限内取双曲线上一点P,连结BP交椭圆于点M,连结PA并延长交椭圆于点N,若。求证:。
20. (本小题满分12分)某厂家拟在2005年国庆节期间举行促销活动,经调查测算,该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元()满足(k为常数),如果不搞促销活动,该产品的年销售量只能是1万件,已知2005年生产该产品的固定投入为8
万元,每生产1万件产品需要投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定
为年平均每件产品成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分
资金)
(1)将2005年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数;
(2)该厂家2005年的促销费用投入多少万元时,厂家的年利润最大?
解:(1)设2005年生产产品x万件
时,代入
………………(2分)
则年成本:………………(4分)
年利润:…………(6分)
……………………(7分)
(2)………………(10分)
当且仅当,即时取等号………………(11分)
时,万元……………………(12分)
19.(本小题满分12分)已知函数 (k为常数),A(-2k, 2)是函数图象上的点。
(I)求实数k的值及函数的解析式;
(II)将的图象按向量(3,0)平移,得到函数y=g(x)的图象。若恒成立,试求实数m的取值范围。
解:(I)∵A(-2k, 2)是函数y=f-1(x)图象上的点。
∴B(2,-2K)是函数y=f(x)上的点。 ∴2k=32+k
∴k=-3, ∴y=f(x)=3x-3 ∴y=f-1(x)=log3(x+3),(x>-3)
(II)将y=f-1(x)的图象按向量=(3,0)平移,得函数y=g(x)=log3x(x>0)
要使2f-1(x+)-g(x)≥1 恒成立, 即使2log3(x+)-log3x≥1恒成立。
所以有x+≥3在x>0时恒成立,只须(x+)min≥3。
又x+(当且仅当x=时取等号)
∴(x+)min=4 只须4≥3,即m≥。
∴实数m的取值范围为
18.(本小题满分12分)已知函数的图象经过原点。
(1)若成等差数列,求m的值;
(2)若,正数a、b、c成等比数列,求证:
解:(1)将(0,0)代入,得:
………………(2分)
由已知可得:………………(3分)
即:
(舍)……………………(6分)
(2)由已知可得:
…(8分)
而
…(12分)
另解:………(8分)
………………(10分)
∵a,b,c成等比数列 得证(12分)
17.(本小题满分12分)
,其中。
(I)求的取值范围;
(II)若函数的大小。
解:
16.给出以下结论:
①通项公式为an=a1()n-1的数列一定是以a1为首项,为公比的等比数列;
②存在角α使得tanα+cotα=-成立;
③函数y=在定义域上是单调递减的;
④若α,β∈(,π),且tanα<cotβ,则α+β<;
⑤函数y=log(4-x2)的值域是.
其中可能成立的结论的序号是__4.5________.(注:把你认为正确的命题的序号都填上)
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