题目列表(包括答案和解析)
2、已知a,b为实数,集合M={,1},N={a,0},f:x→x表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x,则a+b等于
A-1 B
0 C
1 D
±1
1、已知集合,则集合
= ( )
A. B.
C.
D.
24.已知函数且
(1)求的单调区间;
(2)若函数与函数
在
时有相同的值域,求
的值;
(3)设,函数
,若对于任意
,总存在
,使得
成立,求
的取值范围。
解:(1),
易得的单调递增区间为
;单调递减区间为
。
(2)∵在
上单调递减,∴其值域为
,即
,
。
∵为最大值,∴最小值只能为
或
,
若;若
。综上得
。
(3)设的值域为
,由题意知,
。以下先证
的单调性:设
,
∵,
(,
), ∴
在
上单调递减。
∴, ∴
的取值范围是
。
23.已知抛物线M的方程为
(1)求抛物线M的准线的方程;
(2)求证:对任意,经过两点
的直线与一定圆C想切,并求出圆C的方程;
(3)设AB为定圆C的任意一条被直线平分的弦,求证:所有这些弦所在的直线都与某一条抛物线有且仅有一个公共点。
(1)解:抛物线M的准线的方程为
,即
。
(2)证明:∵,
∴经过两点的直线方程为
,
∵原点到这条直线的距离, ∴定圆C的方程为
。
(3)证明:设AB与直线的交点为
,则
,AB的方程为
,
由题意设抛物线方程为,把
代入AB的方程,得
,由
,得
,
即所有这些弦所在的直线都与抛物线有且仅有一个公共点。
22、某银行准备新设一种定期存款业务,经预测,存款量与存款利率成正比,比例系数为,贷款的利率为6%,又银行吸收的存款能全部放贷出去。
(1)若存款的利率为,试分别写出存款数量
及银行应支付给储户的利息
与存款利率
之间的关系式;
(2)存款利率定为多少时,银行可获得最大收益?
解:(1)存款量,银行应支付的利息
。
(2)设银行可获得收益为,则
,
当且仅当,即
时取到最大值。
答:当存款利率定为时,银行可获得最大收益。
21、已知函数
(1)求函数的最小正周期;
(2)求函数在
上的值域。
解:(1)
∴函数的最小正周期
。
(2)∵,∴
,∴
,∴
。
20、已知数列的首项是
,前
项和为
,且
,求数列
的通项公式。
解:,两式相减,得
,
∴ 。
19、解不等式组:
解: 。
18、已知,则数列
的通项公式
等于
( D )
A、
B、
C、
D、
17、中,若
,则
为
( C )
A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定
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