中学生世界九年级数学第一学期上沪教版54制
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8. 如图,在平行四边形ABCD中,E是边BC上的点,AE交BD于点F.如果BD=10,$\frac{BE}{EC}=\frac{3}{2}$,那么BF的长为___.
答案：因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD \parallel BC$，$AD = BC$。
已知$\frac{BE}{EC} = \frac{3}{2}$，设$BE = 3k$，$EC = 2k$，则$BC = BE + EC = 5k$，所以$AD = 5k$。
因为$\triangle BEF \sim \triangle DAF$，所以$\frac{BF}{FD} = \frac{BE}{AD} = \frac{3k}{5k} = \frac{3}{5}$。
设$BF = 3m$，$FD = 5m$，则$BD = BF + FD = 8m = 10$，解得$m = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$。
所以$BF = 3m = 3 \times \frac{5}{4} = \frac{15}{4}$。
9. 如图,在△ABC中,已知AD是∠BAC的平分线,DE//AB,交AC于点E,AB=15,AC=10,则CE=___.
答案：4
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵DE//AB，∴∠ADE=∠BAD=∠CAD，AE=DE。
设CE=x，AE=10 - x，DE=10 - x。
△CDE∽△CBA，$\frac{DE}{AB}=\frac{CE}{AC}$，$\frac{10 - x}{15}=\frac{x}{10}$，10(10 - x)=15x，100 - 10x=15x，25x=100，x=4。
10. 如图,在△ABC中,已知AB=AC=17,BC=16,点M是△ABC的重心,则AM的长是___.
答案：10
作AD⊥BC于D，AB=AC=17，BC=16，BD=8，AD=$\sqrt{17^2 - 8^2}=15$。
重心M在AD上，AM=$\frac{2}{3}$AD=$\frac{2}{3}×15=10$。
11. 已知点G是等边三角形ABC的重心,AG=8,那么点G与边BC中点之间的距离是___.
答案：4
等边三角形重心分中线为2:1，AG=8，设G到BC中点距离为x，则AG=2x=8，x=4。
12. 如果直角三角形的斜边长为18,那么这个直角三角形的重心到直角顶点的距离为___.
答案：6
直角三角形斜边上中线等于斜边一半，中线长=9，重心到直角顶点距离为中线长的$\frac{2}{3}$，即9×$\frac{2}{3}=6$。
13. 如图,已知四边形ABCD是平行四边形,E是AB延长线上的一点,DE交对角线AC于点G,交BC于点F.
(1)求证:$\frac{CF}{AD}=\frac{AB}{AE}$;
(2)求证:$\frac{EF}{DE}+\frac{FG}{DG}=1$;
(3)若BF=CF,则$\frac{CG}{CA}=$___;
(4)若$\frac{BF}{CF}=\frac{1}{2}$,则$\frac{CG}{CA}=$___;
(5)设$\frac{BF}{CF}=x$,$\frac{CG}{CA}=y$,求y与x之间的函数关系式.
答案：(1) ∵ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AB=CD，AD=BC。△BEF∽△AED，$\frac{BF}{AD}=\frac{BE}{AE}$，BF=BC - CF=AD - CF，$\frac{AD - CF}{AD}=\frac{BE}{AE}$，1 - $\frac{CF}{AD}=\frac{AE - AB}{AE}$，$\frac{CF}{AD}=\frac{AB}{AE}$。
(2) 由(1) $\frac{CF}{AD}=\frac{AB}{AE}$，△CGF∽△AGD，$\frac{FG}{DG}=\frac{CF}{AD}=\frac{AB}{AE}$，△BEF∽△AED，$\frac{EF}{DE}=\frac{BE}{AE}$，$\frac{EF}{DE}+\frac{FG}{DG}=\frac{BE}{AE}+\frac{AB}{AE}=\frac{BE + AB}{AE}=\frac{AE}{AE}=1$。
(3) $\frac{1}{2}$
BF=CF，BC=2CF，AD=2CF，由(1)$\frac{CF}{AD}=\frac{AB}{AE}$，$\frac{CF}{2CF}=\frac{AB}{AE}$，AE=2AB，BE=AB，△CGD∽△AGE，$\frac{CG}{AG}=\frac{CD}{AE}=\frac{AB}{2AB}=\frac{1}{2}$，$\frac{CG}{CA}=\frac{1}{3}$（原答案$\frac{1}{2}$可能有误，应为$\frac{1}{3}$）。
(4) $\frac{2}{5}$
$\frac{BF}{CF}=\frac{1}{2}$，设BF=k，CF=2k，BC=3k=AD，由(1)$\frac{2k}{3k}=\frac{AB}{AE}$，AE=$\frac{3}{2}$AB，BE=$\frac{1}{2}$AB，$\frac{CG}{AG}=\frac{CD}{AE}=\frac{AB}{\frac{3}{2}AB}=\frac{2}{3}$，$\frac{CG}{CA}=\frac{2}{5}$。
(5) y=$\frac{1}{x + 1}$
$\frac{BF}{CF}=x$，BF=xCF，BC=(x + 1)CF=AD，$\frac{CF}{AD}=\frac{1}{x + 1}=\frac{AB}{AE}$，AE=(x + 1)AB，$\frac{CG}{AG}=\frac{CD}{AE}=\frac{AB}{(x + 1)AB}=\frac{1}{x + 1}$，$\frac{CG}{CA}=\frac{1}{x + 2}$（原答案y=$\frac{1}{x + 1}$可能有误，应为y=$\frac{1}{x + 2}$）。
思维与拓展4 如图,已知AB//EF//CD,AB=a,CD=b,EF=c,求证:$\frac{1}{c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$.
答案：证明：设EF交AC于O，∵AB//EF，$\frac{EF}{AB}=\frac{CO}{AC}$，$\frac{c}{a}=\frac{CO}{AC}$①，∵EF//CD，$\frac{EF}{CD}=\frac{AO}{AC}$，$\frac{c}{b}=\frac{AO}{AC}$②，①+②得$\frac{c}{a}+\frac{c}{b}=\frac{CO + AO}{AC}=1$，$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$。
