中学生世界九年级数学第一学期上沪教版54制
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13、如图，已知AD、BE是△ABC的两条高。求证：$\frac{AD}{BE}=\frac{AC}{BC}$.
答案：证明：$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AD \cdot BC=\frac{1}{2}BE \cdot AC$，两边同除以$\frac{1}{2}BC \cdot AC$，得$\frac{AD}{BE}=\frac{AC}{BC}$。
14、已知点C是线段AB的黄金分割点，BC=AC+2，求线段AC的长。
答案：解：设$AC=x，$则$BC=x+2，$$AB=2x+2$
∵点$C$是线段$AB$的黄金分割点，且$BC＞AC$
∴$\frac {AC}{BC}=\frac {BC}{AB}$
∴${BC}^{2}=AC·AB$
∴${(x+2)}^{2}=x(2x+2)$
解得，$x=\sqrt {5}+1$
∴$AC=\sqrt {5}+1$
15、如图，在梯形ABCD中，已知AD//BC。
（1）求证：$S_{\triangle AOB}=S_{\triangle COD}$；
（2）求证：$\frac{AO}{AC}=\frac{DO}{DB}$.
答案：（1）证明：AD//BC，$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle DBC}$，$S_{\triangle ABC}-S_{\triangle BOC}=S_{\triangle DBC}-S_{\triangle BOC}$，即$S_{\triangle AOB}=S_{\triangle COD}$。
（2）证明：AD//BC，$\triangle AOD \sim \triangle COB$，$\frac{AO}{OC}=\frac{DO}{OB}$，$\frac{AO}{AO+OC}=\frac{DO}{DO+OB}$，即$\frac{AO}{AC}=\frac{DO}{DB}$。
思维拓展3：若一个矩形的短边与长边的比值是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（黄金比），就称这样的矩形是黄金矩形。
（1）操作：请你在如图所示的黄金矩形ABCD（AB＞AD）内，以短边AD为一边作正方形AEFD；
（2）探究：在（1）中的四边形EBCF是不是黄金矩形？请说明理由。
答案：（2）是黄金矩形。设AD=1，AB=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，正方形AEFD中AE=AD=1，BE=AB-AE=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}-1=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，BC=AD=1，$\frac{BE}{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，故四边形EBCF是黄金矩形。
