中学生世界九年级数学第一学期上沪教版54制
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8. 如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，我们把每个小正方形的顶点叫做“格点”，△ACB和△DCE的顶点都在“格点”上，线段ED的延长线交AB于点F.
(1)求证：△ACB∽△DCE；
(2)求证：EF⊥AB.
答案：(1)设网格中小正方形边长为1，由图可得：AC=3，BC=6，AB=3√5，DC=2，CE=4，DE=2√5.
∵$\frac{AC}{DC}=\frac{3}{2}$，$\frac{BC}{CE}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$，$\frac{AB}{DE}=\frac{3\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\frac{3}{2}$，
∴$\frac{AC}{DC}=\frac{BC}{CE}=\frac{AB}{DE}$，
∴△ACB∽△DCE.
(2)∵△ACB∽△DCE，
∴∠ABC=∠DEC.
∵∠ABC+∠BAC=90°，
∴∠DEC+∠BAC=90°，
∴∠AFE=90°，即EF⊥AB.
9. 如图，在平行四边形ABCD中，已知AE交BC于点E，交BD于点F，且BE²=EF·EA.
求证：AB²=BF·BD.
答案：∵BE²=EF·EA，
∴$\frac{BE}{EF}=\frac{EA}{BE}$.
∵∠BEF=∠AEB，
∴△BEF∽△AEB，
∴∠EBF=∠EAB.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠EAB=∠ADE，
∴∠EBF=∠ADE.
∵∠BFE=∠DFA，
∴△BFE∽△DFA，
∴$\frac{BF}{DF}=\frac{EF}{AF}$.
∵△BEF∽△AEB，
∴$\frac{EF}{BE}=\frac{BE}{AE}=\frac{BF}{AB}$，
∴$\frac{EF}{AF}=\frac{BF}{AB - BF}$.
设BF=x，BD=y，AB=z，
则$\frac{x}{y - x}=\frac{x}{z - x}$，
∴y - x = z - x，
∴y = z，即AB²=BF·BD.
10. 如图，在△ABC中，已知AB=AC，点D、E分别在边BC、AC上，且满足BD=2CD，AE=CE，联结DE并延长，交BA的延长线于点F，联结AD.
(1)求证：△CDE∽△BDA；
(2)求证：AB=AF.
答案：(1)∵AB=AC，
∴∠B=∠C.
∵BD=2CD，设CD=x，则BD=2x，BC=3x.
∵AE=CE，设AE=CE=y，则AC=2y，AB=2y.
$\frac{CD}{BD}=\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}$，$\frac{CE}{AB}=\frac{y}{2y}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{CD}{BD}=\frac{CE}{AB}$.
又∵∠C=∠B，
∴△CDE∽△BDA.
(2)过点E作EG∥BC交AB于点G。∵AE=CE，∴AG=BG=$\frac{1}{2}$AB，EG=$\frac{1}{2}$BC。设CD=x，则BD=2x，BC=3x，∴EG=$\frac{3}{2}$x。∵EG∥BD，∴△FEG∽△FDB，∴$\frac{FG}{FB}=\frac{EG}{BD}=\frac{\frac{3}{2}x}{2x}=\frac{3}{4}$。设FG=3k，则FB=4k，BG=FB - FG=k。∵AG=BG=k，∴AF=FG - AG=3k - k=2k，AB=AG + BG=2k，∴AF=AB。
11. 如图，在△ABC中，已知∠ADE=∠B，∠BAC=∠DAE.
(1)求证：$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$；
(2)当∠BAC=90°时，求证：EC⊥BC.
答案：(1)∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC - ∠DAC=∠DAE - ∠DAC，即∠BAD=∠CAE.
∵∠ADE=∠B，∠ADE=∠ADC + ∠CDE，∠B=∠ADC + ∠BAD，
∴∠CDE=∠BAD=∠CAE.
∵∠AED=∠CEA，
∴△AED∽△CEA，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{CE}$.
∵∠BAD=∠CAE，∠B=∠ADE，
∴△ABD∽△ADE，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AD}$，
∴AD²=AB·AE，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$.
(2)∵∠BAC=90°，$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠AED=∠ACB.
∵∠AED + ∠DEC=180°，
∴∠ACB + ∠DEC=180°.
∵∠BAC=90°，
∴∠ABC + ∠ACB=90°，
∴∠ABC + ∠DEC=90°，
∴∠ECB=90°，即EC⊥BC.
