中学生世界九年级数学第一学期上沪教版54制
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8、如图，在△ABC中，有菱形AMPN，点M、P、N分别在AB、BC、AC上，若$\frac{AM}{MB}=\frac{1}{2}$，则$\frac{BP}{BC}$=______.
答案：$\frac{2}{3}$
设AM=1，MB=2，AB=3，菱形AMPN，MP//AC，$\frac{BP}{BC}=\frac{BM}{BA}=\frac{2}{3}$（原答案可能有误，按菱形性质修正）。
9、已知菱形ABCD的边长是3，点E在直线AD上，DE=1，联结BE，与对角线AC交于点M，则$\frac{AM}{MC}$的值是______.
答案：$\frac{2}{3}$或$\frac{4}{3}$
E在AD上：AE=2，AD//BC，$\frac{AM}{MC}=\frac{AE}{BC}=\frac{2}{3}$；E在AD延长线：AE=4，$\frac{AM}{MC}=\frac{4}{3}$（原答案可能有误，按位置分类修正）。
10、如图，在梯形ABCD中，已知AD//BC，AC、BD相交于点O，若$S_{\triangle AOD}=4$，$S_{\triangle BOC}=9$，则$S_{梯形ABCD}$=______.
答案：25
$\triangle AOD \sim \triangle COB$，相似比2:3，$S_{\triangle AOB}=S_{\triangle COD}=6$，梯形面积=4+9+6+6=25。
11、如图，已知EF//BC，FG//CD。求证：$\frac{AF}{AB}=\frac{AG}{AD}$.
答案：证明：EF//BC，$\frac{AF}{AB}=\frac{AE}{AC}$；FG//CD，$\frac{AG}{AD}=\frac{AF}{AC}$，故$\frac{AF}{AB}=\frac{AG}{AD}$。
12、如图，在△ABC中，已知DG//EC，EG//BC。求证：$AE^2=AB \cdot AD$.
答案：证明：DG//EC，$\frac{AD}{AE}=\frac{AG}{AC}$；EG//BC，$\frac{AE}{AB}=\frac{AG}{AC}$，故$\frac{AD}{AE}=\frac{AE}{AB}$，$AE^2 = AB \cdot AD$。
13、如图，已知四边形ABCD是平行四边形，E是AB延长线上一点，DE分别交对角线AC于点G，边BC于点F。
（1）求证：$DG^2=GF \cdot GE$；
（2）求证：$\frac{GC^2}{GA^2}=\frac{GF}{GE}$.
答案：（1）证明：AD//BC，$\frac{DG}{GF}=\frac{AG}{GC}$；DC//AB，$\frac{GE}{DG}=\frac{AG}{GC}$，故$\frac{DG}{GF}=\frac{GE}{DG}$，$DG^2 = GF \cdot GE$。
（2）证明：由（1）$\frac{AG}{GC}=\frac{DG}{GF}=\frac{GE}{DG}$，$\frac{GC}{GA}=\frac{GF}{DG}=\frac{DG}{GE}$，$\frac{GC^2}{GA^2}=\frac{GF}{DG} \cdot \frac{DG}{GE}=\frac{GF}{GE}$。
