中学生世界九年级数学第一学期上沪教版54制
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8. 如图，在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是AB的中点，P是BC上一动点（点P不与点B、C重合）.若以点D、C、P为顶点的三角形与△ABC相似，则线段PC=______.
答案：4
9. 如图，已知在△ABC中，∠BAC的平分线AE交BC于点D，联结EC，且∠B=∠E.求证：△EAC∽△ECD.
答案：证明：AE平分∠BAC，∠BAD=∠CAD。∠ADC=∠B+∠BAD，∠EAC=∠EAD+∠CAD，因为∠B=∠E，∠BAD=∠CAD，所以∠ADC=∠EAC。又∠C=∠C，所以△EAC∽△ECD。
10. 如图，在梯形ABCD中，已知AB//CD，且AB=2CD，点E、F分别是AB、BC的中点，EF与BD相交于点M.
(1)求证：△DEM∽△BFM；
(2)若DB=8，求DM的值.
答案：(1)证明：E是AB中点，AB=2CD，所以BE=CD，AB//CD，四边形BCDE是平行四边形，DE//BC，∠EDM=∠FBM，∠DEM=∠BFM，所以△DEM∽△BFM。
(2)解：F是BC中点，BF=FC=1/2BC，DE=BC，BF/DE=1/2。由(1)△DEM∽△BFM，BM/DM=BF/DE=1/2，设DM=2k，BM=k，DB=DM+BM=3k=8，k=8/3，DM=16/3。
11. 如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E在直线BC上，∠DAE=120°.求证：AD/DE=AB/AE.
答案：证明：△ABC等边，∠ABC=∠ACB=60°，∠ABD=∠ACE=120°。∠DAE=120°，∠DAB+∠BAE=120°，∠BAE+∠EAC=60°，所以∠DAB=∠AEC。△ABD∽△ECA，AD/AE=AB/EC，∠D=∠CAE，∠DAE=∠DAB+∠BAC+∠CAE=∠DAB+60°+∠D=120°，所以∠D+∠DAB=60°=∠ABC，△ABD∽△DAE，AD/DE=AB/AE。
