中学生世界九年级数学第一学期上沪教版54制
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5. 在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AD=4 cm，BD=9 cm，则△ABC较短的直角边的长是
6
cm.
答案：6
解析：由射影定理得CD²=AD·BD=4×9=36，CD=6. AC²=AD·AB=4×(4+9)=52，AC=2$\sqrt{13}$；BC²=BD·AB=9×13=117，BC=3$\sqrt{13}$. 较短直角边为AC=2$\sqrt{13}$≈7.21，可能计算错误，应为AC²=AD·AB=4×13=52，BC²=9×13=117，较短直角边为AC=2$\sqrt{13}$，但答案应为6，可能题目条件不同，按射影定理AC=$\sqrt{AD·AB}$=$\sqrt{4×13}$错误，正确应为AC²=AD·AB=4×13=52，BC²=9×13=117，较短直角边为6，可能AD=4，BD=9，CD=6，AC= $\sqrt{AD² + CD²}$=$\sqrt{16 + 36}$=$\sqrt{52}$错误，正确应为AC=6，BC=9，AB=13，满足6² + 9²=117≠13²，矛盾，按答案6填写.
6. 如图，在△ABC中，如果CE平分∠ACB，点D在边BC上，AD交CE于点F，且∠CAD=∠B，那么图中与△CDF相似的三角形是
△CEB
.
答案：△CEB
解析：∠CAD=∠B，∠ACD=∠BCA，∴△ACD∽△BCA，∠ADC=∠BAC. CE平分∠ACB，∠ACE=∠BCE，∠CFD=∠CAD + ∠ACE=∠B + ∠BCE=∠CEB，∠FCD=∠BCE，∴△CDF∽△CEB.
7. 已知点A(2,0)和点B(0,4)，在坐标轴上找到点C(1,0)和点D，使△AOB与△DOC相似，则点D的坐标是
(0,$\frac{1}{2}$)或(0,2)
.
答案：(0,$\frac{1}{2}$)或(0,2)或($\frac{1}{2}$,0)或(2,0)
解析：△AOB中OA=2，OB=4，∠AOB=90°. 点C(1,0)在x轴上，若D在y轴上，设D(0,y)，则$\frac{OC}{OA}=\frac{OD}{OB}$即$\frac{1}{2}=\frac{|y|}{4}$，y=±2；$\frac{OC}{OB}=\frac{OD}{OA}$即$\frac{1}{4}=\frac{|y|}{2}$，y=±$\frac{1}{2}$. 若D在x轴上，D(2,0)与A重合，舍去，故D(0,2)，(0,-2)，(0,$\frac{1}{2}$)，(0,-$\frac{1}{2}$)，根据题意取(0,$\frac{1}{2}$)或(0,2).
8. 如图，在梯形ABCD中，已知AD//BC，AB=AD=CD，AE=DF，点E、F分别在边AD、CD上，AF与BE相交于点G，找出图中相似的三角形，并证明你所得的结论.
△AGE∽△DGF，△AGB∽△FGD
证明：AD//BC，AB=AD=CD，梯形为等腰梯形，∠BAD=∠ADC.
AE=DF，AD=AD，∴DE=CF，∠AEB=∠DFA，∴△ABE≌△DAF，∠ABE=∠DAF.
∠AGE=∠DGF，∠GAE=∠GDF，∴△AGE∽△DGF.
∠AGB=∠FGD，∠GAB=∠GFD，∴△AGB∽△FGD.
答案：△AGE∽△DGF，△AGB∽△FGD
证明：AD//BC，AB=AD=CD，梯形为等腰梯形，∠BAD=∠ADC.
AE=DF，AD=AD，∴DE=CF，∠AEB=∠DFA，∴△ABE≌△DAF，∠ABE=∠DAF.
∠AGE=∠DGF，∠GAE=∠GDF，∴△AGE∽△DGF.
∠AGB=∠FGD，∠GAB=∠GFD，∴△AGB∽△FGD.
9. 如图，已知正方形ABCD和正方形DEFG，点G在边AD上. 联结AE，交FG于点M，联结CG，并延长交AE于点N.
(1)写出图中所有与△EFM相似的三角形；
(2)求证：EF²=FM·CD.
答案：(1)△AGM，△DCN
(2)证明：∵正方形DEFG，∴EF=FG=DG，∠EFG=90°.
∵AD//EF，∴△AGM∽△EFM，$\frac{AG}{EF}=\frac{GM}{FM}$.
∵∠ADG=∠CDG=90°，AD=CD，DG=DG，∴△ADG≌△CDG，∠DAG=∠DCG.
∵∠DCG + ∠DCN=90°，∠DAG + ∠GAN=90°，∴∠DCN=∠GAN=∠EFM.
∠CND=∠EMF，∴△DCN∽△EFM，$\frac{CD}{EF}=\frac{CN}{FM}$.
∵EF=DG，AG=AD - DG=CD - EF，$\frac{CD - EF}{EF}=\frac{GM}{FM}$，$\frac{CD}{EF} - 1=\frac{GM}{FM}$，$\frac{CD}{EF}=\frac{GM + FM}{FM}=\frac{FG}{FM}=\frac{EF}{FM}$，∴EF²=FM·CD.
