中学生世界九年级数学第一学期上沪教版54制
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7. 如图，已知P是等腰三角形ABC的底边BC上的点，以AP为腰在AP的两侧分别作等腰三角形APF和等腰三角形AEP，且∠APF=∠APE=∠B，PF交AB于点M，PE交AC于点N，联结MN. 求证：MN//BC.
答案：证明：∵AB=AC，∠B=∠C，∠APF=∠APE=∠B.
∠AMP=∠B + ∠BPF，∠F=∠PAB，∠F + ∠APF + ∠PAB=180°，∠B + ∠PAB + ∠BPA=180°，∴∠BPF=∠BPA，同理∠CPN=∠CPA.
$\frac{AM}{MB}=\frac{AP·sin∠APM}{BP·sin∠BPM}$，$\frac{AN}{NC}=\frac{AP·sin∠APN}{CP·sin∠CPN}$，∵∠APM=∠APN，∠BPM=∠CPN，BP=CP（P为BC上点），∴$\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$，∴MN//BC.
8. 如图，在□ABCD中，已知AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E、F，联结EF. 求证：(1)AB·AF=AE·AD；(2)AC·AF=BC·EF.
答案：证明：(1)∵□ABCD，∴∠B=∠D，AB=CD，AD=BC.
∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB=∠AFD=90°，∴△AEB∽△AFD，$\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AF}$，∴AB·AF=AE·AD.
(2)由(1)$\frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AD}=\frac{CD}{BC}$，∠EAF + ∠C=180°，∠EFC + ∠C=180°，∴∠EAF=∠EFC.
△AEF∽△ACB，$\frac{EF}{AC}=\frac{AF}{BC}$，∴AC·AF=BC·EF.
9. 如图，在□ABCD中，已知点E、F分别在边AD、AB上，∠ECB=∠FCD，CE、BA的延长线相交于点G. 求证：(1)BC²=BF·BG；(2)BF·BA=DE·AD.
答案：证明：(1)∵∠ECB=∠FCD，∠FCD=∠BFC（AB//CD），∴∠ECB=∠BFC.
∠GBC=∠CBF，∴△GBC∽△CBF，$\frac{BC}{BF}=\frac{BG}{BC}$，∴BC²=BF·BG.
(2)∵△GBC∽△CBF，$\frac{BF}{BC}=\frac{CF}{CG}$.
∵AD//BC，∴△GED∽△GCB，$\frac{DE}{BC}=\frac{GE}{GC}$.
∵∠ECB=∠FCD，∠DCE=∠G，∴∠FCD=∠G，△FCD∽△EGC，$\frac{CF}{CG}=\frac{CD}{GE}$.
$\frac{BF}{BC}=\frac{CD}{GE}$，$\frac{BF}{BC}=\frac{AB}{GE}$（AB=CD），$\frac{DE}{BC}=\frac{GE}{GC}$，$\frac{BF·GE}{BC·AB}=\frac{1}{GC}$，$\frac{DE·GC}{BC·GE}=\frac{1}{GC}$，两式相乘得$\frac{BF·DE}{BC²·AB}=1$，BC=AD，∴BF·BA=DE·AD.
综合与实践7
如图，已知∠ABC=∠CDB=90°，AC=a，BC=b，问：当BD与a、b之间满足怎样的关系时，△ABC与△CDB相似？
答案：BD=$\frac{b²}{a}$或BD=$\frac{ab}{a}$（即BD=$\frac{b²}{a}$或BD=$\frac{ab}{\sqrt{a² - b²}}$）
解析：若△ABC∽△CDB，则$\frac{AC}{CB}=\frac{BC}{DB}$，$\frac{a}{b}=\frac{b}{BD}$，BD=$\frac{b²}{a}$；若△ABC∽△BDC，则$\frac{AC}{BC}=\frac{AB}{BD}$，AB=$\sqrt{a² - b²}$，$\frac{a}{b}=\frac{\sqrt{a² - b²}}{BD}$，BD=$\frac{b\sqrt{a² - b²}}{a}$. 故BD=$\frac{b²}{a}$或BD=$\frac{b\sqrt{a² - b²}}{a}$.
