中学生世界九年级数学第一学期上沪教版54制
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9. 如图,平行四边形ABCD中,E是BC的中点,F是BE的中点,AE与DF交于点H，则AH:HE=___.
答案：4:1
设BC=4k，E是BC中点，BE=2k，F是BE中点，BF=k，AD=4k。
延长DF交AB延长线于G，∵AD//BC，△ADH∽△EFH，$\frac{AH}{HE}=\frac{AD}{EF}=\frac{4k}{k}=4$，AH:HE=4:1。
10. 如图,在△ABC中,DE//FG//BC.若DE:FG:BC=2:5:9,则AD:DF:FB=___.
答案：2:3:4
设AD=2k，DF=3k，FB=4k，AD:DF:FB=2:3:4（根据相似比平方等于面积比，线段比为相似比，2:5:9对应相似比2:5:9，差为3:4，即AD:DF:FB=2:3:4）。
11. 如图,已知AD//EF//BC,BE=3,AE=9,FC=2.
(1)求DF的长;
(2)若AD=3,EF=5,试求BC的长.
答案：解：$(1)$∵$AD//EF//BC$
∴$\frac {AE}{BE}=\frac {DF}{CF}$
∵$BE=3，$$AE=9，$$CF=2$
∴$\frac {9}3=\frac {DF}2$
∴$DF=6$
$(2)$过点$D$作直线$DH//AB，$直线$DH$与$BC$交于点$H，$与$EF$交于点$G$
由题意可知，四边形$ADGE$和四边形$EGHB$都是平行四边形
∴$AD=EG=BH=3$
∵$EF=5$
∴$FG=2$
∵$EF//BC$
∴$\frac {FG}{CH}=\frac {DF}{DC}$
∵$DF=6，$$DC=DF+FC=6+2=8$
∴$\frac {FG}{CH}=\frac 3 4$
∴$CH=\frac 43FG=\frac 8 3$
∴$BC=\frac 8 3+3=\frac {17}3$
12. 如图,在梯形ABCD中,已知AD//BC,中位线EF与对角线BD交于点G.若EG:GF=2:3,且AD=4,求BC的长.
答案：6
设EG=2k，GF=3k，EF=5k，EF是中位线，EF=$\frac{1}{2}$(AD + BC)，AD=4，BC=2EF - AD=10k - 4。
∵AD//EF//BC，G是BD中点，EG=$\frac{1}{2}$AD=2，GF=$\frac{1}{2}$BC，2k=2，k=1，GF=3，BC=6。
思维与拓展5 (梅内劳斯定理)一条直线与三角形ABC的三边BC、CA、AB(或其延长线)分别交于D、E、F.求证:$\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB}=1$.
答案：证明：过C作CG//AB交DF于G，$\frac{BD}{DC}=\frac{BF}{CG}$，$\frac{CE}{EA}=\frac{CG}{AF}$，$\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB}=\frac{BF}{CG}\cdot\frac{CG}{AF}\cdot\frac{AF}{FB}=1$。
