本专题是高中数学的重点内容之一 ，也是高考考查的热点。高考中着重考查运算能力、逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力。其中，选择题、填空题突出“小、巧、活”的特点，而解答题多以中、高档题目出现。透析近年高考试题，本专题的命题热点为：等差，等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式的应用；利用数列的前n项和与通项的关系解题；数列的求和问题；递推数列问题；数列应用问题；数列与函数、三角、不等式的综合问题；数列与平面解析几何的综合问题，等等。

例1．数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列．（I）求的值；（II）求的通项公式．

解：（I），，，

因为，，成等比数列，所以，解得或．

当时，，不符合题意舍去，故．

（II）当时，由于，，…………，，

所以．

又，，故．当时，上式也成立，

所以

例2．若都是各项为正的数列，对任意的正整数都有成等差数列，成等比数列。

（1）试问是否是等差数列？为什么？

（2）求证：对任意的正整数成立；

（3）如果，求。

解：依题意……①有  ……②

（1）∵，∴由②式得从而时，

代入①，∴∴是等差数列。

（2）因为是等差数列∴∴

（3）由及①②两式易得∴的公差

∴∴………………③

又也适合③、∴

∴  ∴

变式：

数列{a_n}中，a₁=8，a₄=2且满足a_n+2=2a_n+1－a_n，(n∈N^*) 

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)设S_n=｜a₁｜+｜a₂｜+…+｜a_n｜，求S_n；

(3)设b_n=(n∈N^*)，T_n=b₁+b₂+……+b_n(n∈N^*)，是否存在最大的整数m，使得对任意n∈N^*均有T_n＞成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由。

解  (1）由a_n+2=2a_n+1－a_na_n+2－a_n+1=a_n+1－a_n可知{a_n}成等差数列，d==－2，∴a_n=10－2n

(2)由a_n=10－2n≥0可得n≤5，当n≤5时，S_n=－n²+9n，

当n＞5时，S_n=n²－9n+40，故S_n=

(3)b_n=

要使T_n＞总成立，需＜T₁=成立，即m＜8且m∈Z，故适合条件的m的最大值为7 

例1．已知数列的前n项和为S_n，满足条件，其中b>0且b1。

(1)求数列的通项a_n；(2)若对，试求b的取值范围。

解：(1)由已知条件得

当n=1时，，故

(2)由

例2. 已知数列的前项和为，若，

（1）证明数列为等差数列，并求其通项公式；

（2）令，①当为何正整数值时，：②若对一切正整数，总有，求的取值范围。

解：（1）令，，即，由

  ∵，∴，

即数列是以为首项、为公差的等差数列， ∴

 （2）①，即   ②∵，又∵时，

∴各项中数值最大为，∵对一切正整数，总有恒成立，因此

变式：

1．在等差数列中，，前项和满足条件，

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）记，求数列的前项和。

解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，由得：，所以，即，又＝，所以。

（Ⅱ）由，得。所以，

当时，；当时，，

即。

2．设是数列（）的前项和，，且，，．

（I）证明：数列（）是常数数列；

（II）试找出一个奇数，使以18为首项，7为公比的等比数列（）中的所有项都是数列中的项，并指出是数列中的第几项．

解：（I）当时，由已知得．

因为，所以． ……①于是． ………②

由②－①得：．……………③于是．………………④

由④－③得：．……………⑤即数列（）是常数数列．

（II）由①有，所以．由③有，所以，

而⑤表明：数列和分别是以，为首项，6为公差的等差数列．

所以，，．

由题设知，．当为奇数时，为奇数，而为偶数，所以不是数列中的项，只可能是数列中的项．若是数列中的第项，由得，取，得，此时，由，得，，从而是数列中的第项．

（注：考生取满足，的任一奇数，说明是数列中的第项即可）

例1. 如图，将圆分成个区域，用3种不同颜色给每一个区域染色，要求相邻区域颜色互异，把不同的染色方法种数记为。求

（Ⅰ）；

（Ⅱ）与的关系式；

（Ⅲ）数列的通项公式，并证明。

解：（Ⅰ） 当时，不同的染色方法种数 ， 当时，不同的染色方法种数 ，

当时，不同的染色方法种数 ， 当时，分扇形区域1，3同色与异色两种情形

∴不同的染色方法种数 。

（Ⅱ）依次对扇形区域染色，不同的染色方法种数为，其中扇形区域1与不同色的有种，扇形区域1与同色的有种。∴

（Ⅲ）∵

∴    ……………… ，

将上述个等式两边分别乘以，再相加，得

，

∴，从而。

证明：当时，  当时， ，当时，

 ，

故

例2. 在数列中，，，．

（Ⅰ）证明数列是等比数列；

（Ⅱ）求数列的前项和；

（Ⅲ）证明不等式，对任意皆成立．

解：（Ⅰ）证明：由题设，得，．

又，所以数列是首项为，且公比为的等比数列．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，于是数列的通项公式为．

所以数列的前项和．

（Ⅲ）对任意的，

．

所以不等式，对任意皆成立．

变式：

数列记

（1）求b₁、b₂、b₃、b₄的值；（2）求数列的通项公式及数列的前n项和

解：（1）

整理得

（2）由

所以

例1. 若函数，数列 成等差数列.

(1)求数列的通项；

(2)若，令，求数列前项和；

(3)在(2)的条件下对任意，都有，求实数的取值范围。

解：(1) 由求得，所以，得.

(2) ，

，错位相减得

(3) ，则为递增数列. 中的最小项为，.

例2． 设数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和S_n满足关系式: 3tS_n－(2t+3)S_n－1=3t(t＞0，n=2，3，4…)

(1)求证：数列{a_n}是等比数列；

(2)设数列{a_n}的公比为f(t)，作数列{b_n}，使b₁=1，b_n=f()(n=2，3，4…)，求数列{b_n}的通项b_n；

(3)求和：b₁b₂－b₂b₃+b₃b₄－…+b_2n－1b_2n－b_2nb_2n+1

解  (1)由S₁=a₁=1，S₂=1+a₂，得3t(1+a₂)－(2t+3)=3t ∴a₂=

又3tS_n－(2t+3)S_n－1=3t，                                 ①

3tS_n－1－(2t+3)S_n－2=3t                                  ②

①－②得3ta_n－(2t+3)a_n－1=0

∴，n=2，3，4…，所以{a_n}是一个首项为1公比为的等比数列；

(2)由f(t)= =，得b_n=f()=+b_n－1?

可见{b_n}是一个首项为1，公差为的等差数列，于是b_n=1+(n－1)=；

(3)由b_n=，可知{b_2n－1}和{b_2n}是首项分别为1和，公差均为的等差数列，于是b_2n=，

∴b₁b₂－b₂b₃+b₃b₄－b₄b₅+…+b_2n－1b_2n－b_2nb_2n+1?

=b₂(b₁－b₃)+b₄(b₃－b₅)+…+b_2n(b_2n－1－b_2n+1)

=－ (b₂+b₄+…+b_2n)=－?n(+)=－ (2n²+3n)

变式：

已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上．

（1） 求数列的通项公式；

（2） 设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m.

解：（1）设这二次函数f(x)＝ax²+bx (a≠0) ，则 f`(x)=2ax+b，由于f`(x)=6x－2，得

a=3 ，b=－2， 所以  f(x)＝3x²－2x.

又因为点均在函数的图像上，所以＝3n²－2n.

当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝（3n²－2n）－＝6n－5.

当n＝1时，a₁＝S₁＝3×1²－2＝6×1－5，所以，a_n＝6n－5 （）

（2）由（1）得知＝＝，

故T_n＝＝＝（1－）.

因此，要使（1－）<（）成立的m，必须且仅须满足≤，

即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.

题型五、数列与函数、三角、不等式综合问题

例1．已知函数f(x)=

（1）求f(x)的反函数f^－1 (x)的表达式；

（2）数列中，a₁ =1；a_n =f^－1 (a_n－1)(nÎN，n≥2)，如果b_n =(nÎN)，求数列的通项公式及前n项和S_n；

（3）如果g(n)=2S_n－17n，求函数g(x) (xÎR)在区间[t，t+2] (tÎR)上的最小值h(t)的表达式。

解：（1）

  ∴f^－1 (x)=

（2）

∴  ∴

是以1为首项，公差为1的等差数列    

（3）g(n)=2Sn－17n=n²－16n    xÎR

∴g(x)函数图像是以顶点M（8，－64）且开口向上的抛物线

(i)当t>8时，g(x)在[t，t+2]上是增函数    ∴h(t)=g(t)=t²－16t

(ii)当t+2<8时，g(x)在[t，t+2]是减函数    ∴h(t)=g(t+2)=t²－12t－28

(iii)当6≤t≤8时    h(t)=g(8)=－64

∴

例2. 函数的反函数为，数列满足：，数列满足：，

（1）求数列和的通项公式；

（2）记，若对任意的，恒有成立，求实数的取值范围.

解：（1）∵，∴，

∴，即，

∴数列是以为首项，公差为1的等差数列，

∴，即。由于，

    ∴

    两式相减得，当时，，即， 

    它对也适合，∴              

（2）

    ，得  

    ①，

      ∴，

②，

，∴∴  

由①②可得，对一切都有的的取值范围为

变式：

已知，，数列满足，， ．

（Ⅰ）求证：数列是等比数列； 

（Ⅱ）当n取何值时，取最大值，并求出最大值；

（III）若对任意恒成立，求实数的取值范围．

解：（I）∵，，，

∴． 即．

又，可知对任何，，所以．

∵， ∴是以为首项，公比为的等比数列．

（II）由（I）可知=  （）．

 ∴． ．

 当n=7时，，；当n<7时，，；当n>7时，，．

∴当n=7或n=8时，取最大值，最大值为．

（III）由，得       （*）

依题意（*）式对任意恒成立，

①当t=0时，（*）式显然不成立，因此t=0不合题意．

②当t<0时，由，可知（）．而当m是偶数时，因此t<0不合题意．

③当t>0时，由（），∴　∴．    （）

设     （）

∵ =，

∴．∴的最大值为．

所以实数的取值范围是．

题型六、数列应用问题

例1. 某地为了防止水土流失，植树造林，绿化荒沙地，每年比上一年多植相同亩数的林木，但由于自然环境和人为因素的影响，每年都有相同亩数的土地沙化，具体情况为下表所示：

1998年

1999年

2000年

新植亩数

1000

1400

1800

沙地亩数

25200

24000

22400

而一旦植完，则不会被沙化。问：（1）每年沙化的亩数为多少？（2）到那一年可绿化完全部荒沙地？

解：（1）由表知，每年比上一年多造林400亩. 因为1999年新植1400亩，故当年沙地应降为亩，但当年实际沙地面积为24000亩，所以1999年沙化土地为200亩. 同理2000年沙化土地为200亩.所以每年沙化的土地面积为200亩

（2）由(1)知，每年林木的“有效面积”应比实造面积少200亩.

设2000年及其以后各年的造林亩数分别为、、、…，则n年造林面积总和为：

由题意： 化简得解得

故8年，即到2007年可绿化完全部沙地.

变式：

某公司按现有能力，每月收入为70万元，公司分析部门测算，若不进行改革，入世后因竞争加剧收入将逐月减少．分析测算得入世第一个月收入将减少3万元，以后逐月多减少2万元，如果进行改革，即投入技术改造300万元，且入世后每月再投入1万元进行员工培训，则测算得自入世后第一个月起累计收入T_n与时间n（以月为单位）的关系为T_n=an+b，且入世第一个月时收入将为90万元，第二个月时累计收入为170万元，问入世后经过几个月，该公司改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入．

解：入世改革后经过n个月的纯收入为万元，不改革时的纯收入为                  

又

由题意建立不等式   

即 

答：经过13个月改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入． 

题型七、数列与平面解析几何综合问题

例1. 设是两个数列，点为直角坐标平面上的点.

（1）对若三点共线，求数列的通项公式；

（2）若数列{}满足：，其中是第三项为8，公比为4的等比数列.求证：点列(1，在同一条直线上，并求出此直线的方程.

解：（1）因三点共线，  

得故数列的通项公式为  

（2）由题意  

由题意得

当时，

.当n=1时，，也适合上式，

因为两点的斜率为常数

所以点列（1，在同一条直线上， 且方程为，即.

例2. 已知曲线y=，过曲线上一点（异于原点）作切线。

（I）求证：直线与曲线y=交于另一点；

（II）在（I）的结论中，求出的递推关系。若，求数列的通项公式；

（III）在（II）的条件下，记，问是否存在自然数m，M，使得不等式m<R_n<M对一切n恒成立，若存在，求出M－m的最小值；否则请说明理由。

解：（I）y′=

（II） 

（III）①  ②

②－①得：

 ，此时M=2，m=0

变式：

由坐标原点O向曲线引切线，切于O以外的点P₁，再由P₁引此曲线的切线，切于P₁以外的点P₂），如此进行下去，得到点列{ P_n}.

求：（1）的关系式；（2）数列的通项公式

解：（1）由题得，过点P₁（的切线为

过原点

又过点P_n（的

因为过点P_n-1（   

整理得

（2）由（I）得 所以数列{x_n-a}是以公比为的等比数列

反馈练习：

1．已知数列的前n项和，那么这个数列中的奇数项依照原来的顺序构成的数列的通项公式是（ B  ）

       A．                        B．

       C．                        D．

2．数列{a_n}的前n项和S_n=3n-2n² (n∈N)，当n>2时有（ D ）

    A．S_n>na₁>na_n    B．S_n< na_n<na₁   C．na₁<S_n<na_n   D．na_n<S_n<na₁

3．已知数列中，，那么等于（ B ）

              A、－495             B、765                 C、1080        D、3105

4．等差数列的通项，则由所确定的数列的前n项和是（  C  ）

  A．           B．          C．          D．

5．等差数列，=－5，它的前11项的算术平均值为5。若从中抽去一项，余下10项的算术平均值为4，则抽去的是（ D  ）

    A．    B．    C．    D．

6．已知数列{a_n}满足a_n+1=a_n?a_n?1（n≥2），a₁=a，a₂=b，记S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，则下列结论正确的是（ A   ）.

（A）a₁₀₀=?a，S₁₀₀=2b?a        （B）a₁₀₀=?b，S₁₀₀=2b?a

（C）a₁₀₀=?b，S₁₀₀=b?a         （D）a₁₀₀=?a，S₁₀₀=b?a

7．设数列满足且  等于（  D  ）

              A、100a      B、100a²          C、101a¹⁰⁰    D、100a¹⁰⁰

8.已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，则使得为整数的正整数的个数是（　D　）

A．2             B．3            C．4         D．5

9．若两个等差数列的前n项和(nÎN)，则的值等于

10．已知等差数列的第2项是8，前10项和是185，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，……，第项，依次排列一个新数列，则数列的前n项和=

11．对正整数n，设曲线在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是 2ⁿ⁺¹-2

12．数列中，       

13．已知函数f(x)= (x<－2)

(1)求f(x)的反函数f^-－1(x)；

(2)设a₁=1， =－f^－-1(a_n)(n∈N^*)，求a_n；

(3)设S_n=a₁²+a₂²+…+a_n²，b_n=S_n+1－S_n是否存在最小正整数m，使得对任意n∈N^*，有b_n<成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.

解  (1)设y=，∵x<－2，∴x=－，即y=f^－-1(x)=－ (x>0)

(2)∵，∴{}是公差为4的等差数列，

∵a₁=1， =+4(n－1)=4n－3，∵a_n>0，∴a_n= 

(3)b_n=S_n+1－S_n=a_n+1²=，由b_n<，得m>，

设g(n)= ，∵g(n)= 在n∈N^*上是减函数，∴g(n)的最大值是g(1)=5，

∴m>5，存在最小正整数m=6，使对任意n∈N^*有b_n<成立 

14．已知数列，满足，，且（）

（I）令，求数列的通项公式；

（II）求数列的通项公式及前项和公式．

解：（Ｉ）由题设得，即（）

易知是首项为，公差为２的等差数列，通项公式为．

（II）由题设得，令，则．

易知是首项为，公比为的等比数列，通项公式为．

由解得， 求和得．

15. 若数列为等差数列，每相邻两项，分别为方程的两根.

(1)    求的通项公式；

(2)    求；

(3)    对于以上的数列｛a_n｝和｛c_n｝，整数981是否为数列｛｝中的项？若是，则求出相应的项数；若不是，则说明理由.

解：(1) 设等差数列的公差为d，由题意得  

由 得      

由   

(2)      

(3)       

∵n是正整数， 是随n的增大而增大，

又＜981，＞981   ∴ 整数981不是数列｛｝中的项.

16.已知函数且任意的、都有

 （1）若数列

 （2）求的值.

解：（1）  ，

而

 （2）由题设，有

又得上为奇函数.  由

得  

于是

故