问题：如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线的一段，我们把由直线和曲线所围成的图形称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯形的面积？

如研究：求图中阴影部分是由抛物线，直线,x=0以及轴所围成的平面图形的面积S。

思考1：（1）曲边梯形与“直边图形”的区别？（曲边梯形有一边是曲线段，“直边图形”的所有边都是直线段）

     （2）能否将求这个曲边梯形面积S的问题转化为求“直边图形”面积的问题？

( “以直代曲”的思想)．

把区间分成许多个小区间，进而把曲边梯形拆为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值．分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S．也即：用划归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积．

解：1．分割：在区间上等间隔地插入个点，将区间等分成个小区间：

             ，，…，  

记第个区间为，其长度为

分别过上述个分点作轴的垂线，从而得到个小曲边梯形，他们的面积分别记作：

           ，，…，

显然，S≈

（2）以直代曲：记，如图所示，当很大，即很小时，在区间上，可以认为函数的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点处的函数值，从图形上看，就是用平行于轴的直线段近似的代替小曲边梯形的曲边（如图）．这样，在区间上，用小矩形的面积近似的代替，即在局部范围内“以直代曲”，则有△S_i=f()△x=()²   (i=1,2,3,……,n) ①

（3）求和：由①，上图中阴影部分的面积为S_n====从而得到的近似值

（4）逼近：分别将区间等分8，16，20，…等份（如图），可以看到，当趋向于无穷大时，即趋向于0时，趋向于，从而有S→

从数值上的变化趋势（可以电子表格验证）

说明：这样求曲边梯形的思想和步骤：分割以直代曲求和逼近    （“以直代曲”的思想）

思考2：它有什么实际背景呢？

例1、火箭发射后t秒内的速度为v(t)（单位：米/秒），假定0≤t≤10,对函数v(t)按照以直代曲作和有什么实际意义？

解：将区间[0,10]分成n个小区间，每个小区间的长度为△t,每个小区间上取一点，依次为t₁,t₂,……,t_n.虽然火箭的速度不是常数，但在一个小区间内其变化很小，所以用V(t₁)来代替火箭在第一小区间上的长度，这样v(t₁)△t≈火箭在第一个时间段内运行的路程，同理v(t₂)△t≈火箭在第二个时间段内运行的路程，从而S_n=≈火箭在10秒内的总路程。

思考：当分割无限变细时(△t→0)，以上和表示的意义是什么？（表示10秒内的总路程）

练习：汽车以速度匀速直线运动时，经过时间所行驶的路程为．如果汽车作变速直线运动，在时刻的速度为（单位：km/h），那么它在0≤≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程（单位：km）是多少？（）

例2、如图，有两个电荷A,B，电量分别为q_A,q_B.固定电荷A，将电荷B从距离A为a处移动到距离A为b处，求库仑力对电荷B所做的功

解：将[a,b]分成n个区间，每个小区间的长度为△r，在每个小区间上取一点，依次为r₁,r₂,……,r_n,虽然库仑力F=(k为比例常数)不是常数，但在每个小范围内其变化很小，所以可以用F(r_i)来代替第i个区间上的库仑力，这样，F(r_i)△r≈库仑力在第i个小区间上所做的功，S_n=≈电荷B移动过程中库仑力所做的总功

思考：当分割无限变细时(△t→0)，以上式子表示什么意义？（表示a到b所做的功）

练习：弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力（为常数，是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长所作的功（）

2、变速这样过程得到的结果是路程，变力经过这样过程得到的结果是功

[A组]

1、已知自由落体运动的速率，则落体运动从到所走的路程为 _______

2、由直线，及ｘ轴围成平面图形的面积为______      

3、如果1N能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉长6cm，求需要做的功

[B组]

4、在曲线上的某点A处做一切线使之与曲线以及轴所围成的面积为.试求：切点A的坐标以及切线方程. 

[答案] 1、

2、

3、0.18J

4、

[教后感想与作业情况]

§1.5.2定积分

[教学目标]

[教学重点]定积分的概念及加法运算

[教学难点]定积分的加法运算

教学过程：

一．创设情景

复习： 1． 回忆前面曲边图形面积的步骤：分割→以直代曲→求和→取极限（逼近      

2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点．

二．新课讲授

1．定积分的概念    一般地，设函数在区间上连续，用分点

将区间等分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上取一点，分点非常多（n很大）时，可以认为f(x)在小区间内几乎没有变化，从而可以取小区间内任意值作和式：    *

如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分。此时常常将求和号∑拉长，记为：     

其中成为被积函数，叫做积分变量，为积分区间，积分上限，积分下限。

说明：（1）定积分是一个常数，即无限趋近的常数（时）称为，而不是．

     （2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：等分区间；②近似代替：取点；③求和：；④取极限：

（3）几何意义为曲边图形面积：；

推广说明：变速运动路程；变力F(t)作的功为W=

例1、将和式的极限在n→∞时表示成定积分为_____

解：

练习：由及轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为　

()

例2、计算，并说明它与+的关系，2呢

解：作图知=，=+，2=3=

思考：一般的与A，与+关系如何？

一般的，设被积函数，若在上可取负值。

考察和式不妨设

于是和式即为

阴影的面积―阴影的面积（即轴上方面积减轴下方的面积）

=A,n无限增大时有=A

于是有：，，后者可以推广为

练习：求和的值（5和1）

两个背景――变速运动路程；变力F(t)作的功为W=；

三块内容――定积分表示方法与求法、、

[补充习题]

1、由及轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为　　．

2、某物体运动的速度v是时间t的一次函数，v=kt+b,该物体有速度为0到速度为1时，其位移为2,从速度为0到速度为2时位移为6，则速度的函数关系式为____________

3、

4、当f(x)为下列函数时，求  (1)f(x)为常数函数，即f(x)=c；(2)f(x)=x；(3)f(x)=x².

(4)由上猜测f(x)=xⁿ时的积分值

[答案]

1、

2、v=2t+1

3、(1)(b-a)c； (2);  (3)   (4)

[教后感想与习题情况]

1.5.3微积分的基本定理（1）――内容及简单应用

[教学目标]

[教学难点]推导过程

[教学重点]推导过程及初步应用

[教学过程]

2、对于复杂的定积分，怎样计算？（根据和进行简化）

3、以上简化后，仍然需要求一个基本函数的定积分，如何求？（分割→以直代曲→求和→取极限（逼近））

思考：以上简化后最终需要的这个庞大过程，简单吗？能否更进一步将这个基本的运算过程进行简化？

1、回忆上一节的习题，我们得到一个结论：=，如果设F(x)=,则被积函数xⁿ与结果与F(x)= 有什么关系？由之能得到一个什么结论？（F^/(x)=xⁿ,右边结果为F(b)-F(a),从而得到=F(b)-F(a)）

2、问题：以上结论对一般的函数是否仍然成立？

3、探究：按照定积分的步骤进行

（1）分割：

一般地，设函数F^/(x)在区间上连续，用分

将区间等分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上取一点F^/(x_i-1)(i=1,2,3,…,n)，

（2）以直代曲：分点非常多（n很大）时，可以认为F^/(x)在小区间内几乎没有变化，从而≈F^/(x_i-1),从而F^/(x_i-1)△x≈F(x_i)-F(x_i-1)

(3)求和：

（4）取极限：如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，S==[F(x₁)-F(x₀)]+[F(x₂)-F(x₁)]+[F(x₃)-F(x₂)]+…+[F(x_n)-F(x_n-1)]=F(x_n)-F(x₀)=     

F(b)-F(a)

   于是我们得到：对于在[a,b]上可导的函数F(x),有：=F(b)-F(a)，由于此式将微积分联系起来，所以我们称作微积分的基本定理。

   三、结论应用

  例：求下列定积分的值:(1)   (2)   (3)  (4)

解：(1) =-=-=5²-0²-(4×5-4×0)=5

(2) ==1³-0³=1

(3) ==(-cosπ)-（-cos0）=2

(4) ==ln3-ln1=ln3

练习：教材P51---练习1，2，3

对于在(a,b)上可导的函数F(x),=F(b)-F(a)

五、作业：教材P52---1(1)(2);2(1)(2),3,4

 [补充习题]

1、若，则等于________

   A    0      B    1       C     0或1     D   不确定

2、由曲线所围成图形的面积是_______________.

3、=___________

4、求由抛物线与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值

5*、一物体按规律x＝bt³作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，物体的阻力正比于速度的平方．试求物体由x＝0运动到x＝a时，阻力所作的功

[答案]

1、1

2、1/3

3、11/3

4、、焦点坐标为，设弦AB、CD过焦点F，且．

由图得知：，故．

所求面积为：S=2=．

5*、物体的速度．媒质阻力，其中k为比例常数，k>0．当x=0时，t=0；当x=a时，，又ds=vdt，故阻力所作的功为

[教后感想与作业情况]

1.5.3微积分的基本定理（1）――分段与复合应用

[教学目标]

[教学难点]复合函数求定积分

[教学重点]复合函数的定积分以及分段函数的定积分

[教学过程]

用之加上两个运算法则可以将定积分化简求出

  例1、给出函数f(x)=,求的值

分析：被积区间为[-1,1]，而函数给出的是从0处的分段函数，因此，可以将区间分割为[-1,0]及[0,1]，分别求定积分再求和

解：=+=+=+=[×0³-×(-1)³]+(×1²-×0²)=

练习1：已知S(x)=,求      （-1）

练习2：求曲线与轴所围成的图形的面积（）

例2、计算的值   （解答1）

变形1：计算

（∵(sin2x)^/=2cos2x ∴==-=0）

说明：复合函数的导数对应于复合函数的积分

变形2：

（原式==（+）=(+0)=）

变形练习3：求的值  （结果：）

思考：如果F^/(x)=f(x),这样的F(x)惟一吗？有多少个？（不惟一，如F(x)+c都可以，有无数个）

[补充作业][B组]

1、____________

2、设y=f（x）是二次函数,方程f（x）=0有两个相等的实根，且f′（x）=2x+2.

（1）求y=f（x）的表达式；（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积.

[C组]

3、抛物线y=ax²＋bx在第一象限内与直线x＋y=4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S．求使S达到最大值的a、b值，并求S_max．

 [答案]

1、;

2、解：（1）设f（x）=ax²+bx+c，则f′（x）=2ax+b，又已知f′（x）=2x+2

∴a=1，b=2.∴f（x）=x²+2x+c  又方程f（x）=0有两个相等实根，∴判别式Δ=4－4c=0，即c=1.

故f（x）=x²+2x+1.

（2）依题意，有所求面积=.

3、解 依题设可知抛物线为凸形，它与x轴的交点的横坐标分别为x₁=0，x₂=－b/a，所以(1)  直线x＋y=4与抛物线y=ax²＋bx相切，即它们有唯一的公共点，由方程组得ax²＋(b＋1)x－4=0，其判别式必须为0，即(b＋1)²＋16a=0．

于是代入（1）式得：，；　

令S'(b)=0；在b＞0时得唯一驻点b=3，且当0＜b＜3时，S'(b)＞0；当b＞3时，S'(b)＜0．故在b=3时，S(b)取得极大值，也是最大值，即a=－1，b=3时，S取得最大值，且．

 [教后感想与作业情况]