2．球的轴截面是大圆，它含有球的全部元素，所以有关球的计算，可作出球的一个大圆，化“球”为“圆”来解决问题．

1．因为“球”是“圆”在空间概念上的延伸，所以研究球的性质时，应注意与圆的性质类比．

3．球的表面积公式和体积公式：设球的半径为R，则球的表面积S＝　　 　　　；球的体积V＝　　　　 ．

例1. 如图，A、B、C是半径为1的球面上的三点，B、C两点间的球面距离为，点A与B、C两点的球面距离都为，O为球心，求：

(1) 的大小；　　　　　　　　

(2) 球心O到截面ABC的距离．

解：(1) 因为B、C两点的球面距离为，即B、C两点与球心连线所夹圆心角为，点A与B、C两点的球面距离都为，即均为直角，所以

(2) 因为⊿BOC，⊿ABC都是等腰三角形，取BC的中点M，连OM，AM，过O作OH⊥AM于H，可证得OH即为O到截面ABC的距离．

变式训练1：　 球面上有三点A、B、C，A和B及A和C之间的球面距离是大圆周长的，B和C之间的球面距离是大圆周长的，且球心到截面ABC的距离是，求球的体积．

解：设球心为O，由已知，易得∠AOB＝∠AOC＝，∠BOC＝，过O作OD⊥BC于D，连AD，再过O作OE⊥AD于E，则OE⊥平面ABC于E，∴OE＝. 在Rt△AOD中，由AD·OE＝AO·ODOA＝R＝1.∴ V球＝πR3＝π．

例2. 如图，四棱锥A－BCDE中，，且AC⊥BC，AE⊥BE．

(1) 求证：A、B、C、D、E五点都在以AB为直径的同一球面上；

(2) 若求B、D两点间的球面距离．

解：(1) 因为AD⊥底面BCDE，所以AD⊥BC，AD⊥BE，又因为AC⊥BC，AE⊥BE，所以BC⊥CD，BE⊥ED．故B、C、D、E四点共圆，BD为此圆的直径．

取BD的中点M，AB的中点N，连接BD、AB的中点MN，则MN∥AD，所以MN⊥底面BCDE，即N的射影是圆的圆心M，有AM＝BM＝CM＝DM＝EM，故五点共球且直径为AB．

(2) 若∠CBE＝90°，则底面四边形BCDE是一个矩形，连接DN，因为：

所以B、D两点间的球面距离是.

变式训练2：过半径为R的球面上一点M作三条两两互相垂直的弦MA、MB、MC．

(1) 求证：MA²+MB²+MC²为定值；

(2) 求△MAB，△MAC，△MBC面积之和的最大值．

解：(1) 易求得MA²+MB²+MC²＝4R^2！

(2) S_△MAB+S_△MAC+S_△MBC＝(MA·MB+MA·MC+MB·MC)≤(MA²+MB²+MC²)＝2R²(当且仅当MA＝MB＝MC时取最大值).

例3.棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面(如图)，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是(　　 )

A．　　　　　　　　　　

B．

C．　　　　　　　　　　

D．

解：设正四面体为正四面体ABCD，分析截面图可知，截面经过正四面体的一条棱设为CD，又过球心，设截面与棱AB交于E点，则E为AB的中点，易求得截面三角形的面积为，

故选(C)．

变式训练3：已知三棱锥P－ABC中，E、F分别是AC、AB的中点，△ABC，△PEF都是正三角形，PF⊥AB.

(1) 证明：PC⊥平面PAB；

(2) 求二面角P－AB－C的平面角的余弦值；

(3) 若点P、A、B、C在一个表面积为12π的球面上，求△ABC的边长.

解 (1) 连结CF，∵PE＝EF＝BC＝AC　 ∴AP⊥PC　 ∵CF⊥AB, PF⊥AB, ∴AB⊥平面PCF　 ∵AC平面PCF　 ∴PC⊥AB　 ∴PC⊥平面PAB.

(2) ∵AB⊥PF, AB⊥CF　 ∴∠PFC为所求二面角的平面角

设AB＝a, 则PF＝EF＝, CF＝,

∴cos∠PFC＝.

(3) 设PA＝x, 球半径为R　

∵PC⊥平面PAB，PA⊥PB　

∵4πR²＝12π, ∴R＝, 知△ ABC的外接圆为球之小圆，由x²＝x·2R.

得△ABC的边长为2.

2．球的性质

(1) 用一个平面去截一个球，截面是　　　　　　 ．

(2)球心和截面圆心的连线　　　　　　 于截面．

(3) 球心到截面的距离与球半径及截面的半径有以下关系：　　　　　　　　 ．

(4) 球面被经过球心的平面截得的圆叫　　　　 ．被不经过球心的平面截得的圆叫　　　　　　　　 ．

(5) 在球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧长，这个弧长叫　　　　　　　　　 ．

1．球：与定点的距离　　　　 或　　　　　 定长的点的集合．

3．在解正棱锥问题时，要注意利用四个直角三角形，其中分别含有九个元素(侧棱、高、侧棱与斜高在底面上的射影、侧棱与侧面与底面所成角、边心距以及底面边的一半)中的三个，已知两个可求另一个．

第11课时　　 　　球

2．要从底面、侧面、棱(特别是侧棱)和截面(对角面及平行于底面的截面)四个方面掌握几何性质，能应用这些性质研究线面关系．

1．要准确理解棱柱、棱锥的有关概念，弄清楚直棱柱、正棱锥概念的内涵和外延．

4．正棱锥的性质：

① 正棱锥各侧棱　　　　 ，各侧面都是　　　 的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高　　　　 (它叫做正棱锥的　　　　 )；

② 正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个　　　　 三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影组成一个　　　　 三角形．

	典型例题

例1．已知正四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁，AB＝1，AA₁＝2，

点E为CC₁的中点，点F为BD₁的中点.

⑴ 证明：EF为BD₁与CC₁的公垂线；

⑵ 求点F到面BDE的距离.

答案(1)略；　 (2)

变式训练1：三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB＝a，

BC、AC、AA₁长均为a，A₁在底面ABC上的射影O在AC上．

⑴ 求AB与侧面AC₁所成的角；

⑵ 若O点恰是AC的中点，求此三棱柱的侧面积．

答案(1) 45°；(2)

例2. 如图，正三棱锥P-ABC中，侧棱PA与底面ABC成60°角．

(1)求侧PAB与底面ABC成角大小；

(2)若E为PC中点，求AE与BC所成的角；

(3)设AB＝，求P到面ABC的距离．

解：(1)；

(2)取PB中点F，连结EF，则∠AEF为所求的角，求得∠AEF＝；

(3)P到平面ABC的距离为．

变式训练2： 四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝.

(1)求证：AO⊥平面BCD；

(2)求异面直线AB与CD所成的角；

(3)求点E到平面ACD的距离．

答案：(1)易证AO⊥BD，AO⊥OC，∴AO⊥平面BCD；

(2)；(3)用等体积法或向量法可求得点E到平面ACD的距离是．

例3. 四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB＝2，CD＝1，∠DAB＝45°；侧面PAD是等腰直角三角形，AP＝PD，且平面PAD⊥平面ABCD．

⑴ 求证：PA⊥BD；

⑵ 求PB与底面ABCD所成角的正切值；

⑶ 求直线PD与BC所成的角．

答案：(1)略；(2)；(3)60°

变式训练3：在所有棱长均为a的正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，D为BC的中点．

　　 ⑴ 求证：AD⊥BC₁；

⑵ 求二面角A－BC₁－D的大小；

⑶ 求点C到平面ABC₁的距离．

提示：(1)证AD⊥平面BB₁C₁C；(2) arc tan；(3) a．

例4．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝CC₁＝1，M为AB的中点，A₁D＝3DB₁．

(1)求证：平面CMD⊥平面ABB₁A₁；

(2)求点A₁到平面CMD的距离；

(3)求MD与B₁C₁所成角的大小．

提示(1)转证CM⊥平面A₁B；

(2)过A₁作A₁E⊥DM，易知A₁E⊥平面CMD，∴求得A₁E＝1；

(3)异面直线MD与B₁C₁所成的角为

变式训练4：在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AA₁＝AD＝1，AB＝，O为对角线A₁C的中点．

⑴ 求OD与底面ABCD所成的角的大小；

⑵ P为AB上一动点，当P在何处时，平面POD⊥平面A₁CD？并证明你的结论．

答案(1) 30°；(2) 当P为AB的中点时，平面POD⊥平面A₁CD．

柱体和锥体是高考立体几何命题的重要载体，因此，在学习时要注意以下三点．

3．正棱锥的定义：如果一个棱锥的底面是　　　 多边形，且顶点在底面的射影是底面的　　　　 ，这样的棱锥叫做正棱锥．