题目列表(包括答案和解析)
(17)(本小题满分12分)
某班数学兴趣小组有男生和女生各3名,现从中任选2名学生去参加校数学竞赛,求:
(I)恰有一名参赛学生是男生的概率;
(II)至少有一名参赛学生是男生的概率;
(Ⅲ)至多有一名参赛学生是男生的概率。
(18)(本小题满分12分)
已知向量=(cos,sin),=(cos,-sin),且x∈[,].
(I)求及;
(II)求函数f(x)=-的最小值。
(19)(本小题满分12分)
设f(x)=ax2+bx+c(a>0),f(x)的导数为f∕(x).若|f(0)|=1,
f∕(0)=0,f(1)=0.
(I)求f(x)的解析式;
(II)对于任意的x1,x2∈[0,1],且x1≠x2.
求证:|f(x2)-f(x1)|≤2|x2-x1|与|f(x2)-f(x1)|≤1都成立。
(20)(本小题满分12分)
如图为一几何体的展开图:
(单位:cm)
(I)沿图中虚线将它们折叠起来,是哪一种特殊几何体?并请画出其直观图,比例尺是;
(II)需要多少个这样的几何体才能拼成一个棱长为6cm的正方体ABCD-A1B1C1D1,请画出其示意图(需在示意图中分别表示出这种几何体);
(Ⅲ)设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点为E,试求:异面直线EB与AB1所成角的余弦值及平面AB1E与平面ABC所成二面角(锐角)的余弦值。
(21)(本小题满分12分)
已知:f(x)=(x<-2),f(x)的反函数为g(x),点An(an,)在曲线y=g(x)上(n∈N+),且a1=1.
(I)求y=g(x)的表达式;
(II)证明数列{}为等差数列;
(Ⅲ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅳ)设bn=,记Sn=b1+b2+……+bn,求Sn.
(22)(本小题满分14分)
已知动圆与圆F1:x2+y2+6x+4=0和圆F2:x2+y2-6x-36=0都外切。
(I)求动圆圆心的轨迹C的方程;
(II)若直线L被轨迹C所截得的线段的中点坐标为(-20,-16),求直线L的方程;
(Ⅲ)若点P在直线L上,且过点P的椭圆C∕以轨迹C的焦点为焦点,试求点P在什么位置时,椭圆C∕的长轴最短,并求出这个具有最短长轴的椭圆C∕的方程。
(13)某单位有500名职工,其中不到35岁的有125人,35岁~~49岁的有280人,50岁以上的有95人。为了了解该单位职工与身体状况有关的某项指标,要从中抽取一个容量为100的样本,应该用______抽样法。
(14)从点P(-1,0)向圆(x+2)2+(y+2)2=1引切线,则切线方程为______。
(15)给出以下几个命题:
①如果空间两直线与直线L所成的角相等,那么这两直线平行。
②如果空间两直线与平面α所成的角相等,那么这两直线平行。
③到定点距离等于定长的点的轨迹是圆。
④如果一条直线和平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。
⑤如果两直线a,b在平面α外,并且a⊥α,a⊥b,那么b∥α
其中,正确命题的序号为______(请将你认为正确的命题的序号全写出来)。
(16)凸函数的性质定理为:如果函数f(x)在区间D上是凸函数,则对于区间D内的任意x1,x2,……,xn,有
≤f()
若函数y=sinx在区间(0,π)上是凸函数,则在△ABC中,sinA+sinB
+sinC的最大值为______。
(1)设集合A、B分别表示异面直线所成的角、直线与平面所成的角的取值 范围,则AB= ( )
(A) (B) (C) (D)
(2)函数y=x2的图象按向量=(2,1)平移后得到的图象的函数表达式为
( )
(A) y=(x-2)2-1 (B) y=(x+2)2-1
(C) y=(x-2)2+1 (D) y=(x+2)2+1
(3)不等式<1的解集为{x|x<1或x>2},则a= ( )
(A)2 (B)-2 (C) (D)-
(4)设f(x)的定义域为关于坐标原点对称的区域,则f(0)=0是f(x)为奇函数的 ( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
(5)函数f(x)=的减区间是 ( )
(A)(-∞,1) (B)(2,+∞) (C) (D)
(6)给出四个函数:
(A) y=cos(2x+) (B)y=sin(2x+)
(C) y=sin(+) (D)y=tan(x+)
则同时具有以下两个性质的函数是 ( )
①最小正周期是π ②图象关于点(,0)对称。
(7)已知:P为抛物线y=上的任意一点,F为抛物线的焦点,点A坐标为(1,1),则|PF|+|PA|的最小值为 ( )
(A) (B)2 (C) (D)
(8)地球表面上从A地(北纬45°,东经120°)到B地(北纬45°,东经30°)的最短距离为(地球半径为R) ( )
(A)R (B) (C) (D)
(9)设F1、F2为椭圆+y2=1的两焦点,P在椭圆上,当△F1PF2面积为1时,的值为 ( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)
(10)我市出租车起步价为6元(起步价内行驶的里程是3Km)以后每1Km价为1.6元,则乘坐出租车的费用y(元)与行驶的里程x(Km)之间的函数图象大致为 ( )
(A) (B) (C) (D)
(11)已知x,y满足约束条件,则z=2x+4y的最小值为( )
(A)6 (B)-6 (C)10 (D)-10
(12)已知(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+……+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+……+anxn,若a1+a2+……+an-1=29-n,则正整数n= ( )
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
第II卷(非选择题,共90分)
22、解:(Ⅰ)
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又
故 . …………………………………4分
方程+1=0有实根,即有实根.
故
即 . …………………………6分
又 ,
得 .
由 知. ………………………………8分
(Ⅱ)
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,
.
. …………………………………12分
.
的符号为正. …………………………………14分
21、解:(Ⅰ)法一.,
解得 …2分
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(Ⅱ)
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20、(甲)解: (Ⅰ) 为以点M为直角顶点的等腰直角三角形,
.
正三棱柱,
且. …………………………2分
在底面内的射影为,.
,
点为边的中点. ……………………………………………4分
(Ⅱ) 过点作,
由(Ⅰ)知,
,
,
, ……………………………………………6分
由(Ⅰ)知,,且.
.
.
点到平面的距离为底面边长为. ………………………8分
(Ⅲ) 过点作,
,
为在平面内的射影,
,是二面角的平面角.……………10分
在直角三角形中,
,
,
,
二面角的大小为45O. …………………………………12分
(乙) 解: (Ⅰ)以为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.……1分
, ……………………………3分
,
,
,
. …………………5分
故与所成的角为. …………………………………6分
(Ⅱ)假设存在点,使,不妨设,
,
, ……………………8分
……………………9分
由, …………………11分
故当.………………………………12分
19、解:(Ⅰ)记“摸出两个球,两球恰好颜色不同”为A,
摸出两个球共有方法种, ………………………………2分
其中,两球一白一黑有种. ………………………………4分
. ………………………………6分
(Ⅱ)法一:记摸出一球,放回后再摸出一个球 “两球恰好颜色不同”为B,
摸出一球得白球的概率为,
摸出一球得黑球的概率为, ……………………………8分
“有放回摸两次,颜色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”, ……………10分
. ……………………………12分
法二:有放回地摸两次,互相独立. …………………………8分
摸一次得白球的概率为, ……………………………10分
“有放回摸两次,颜色不同”的概率为
………………………12分
18、解:(Ⅰ)方法一
由,,成等差数列,得, ………………2分
若,则,,
由得,与题意不符,所以。 ……………4分
由,得。 ………………6分
整理,得。
由,得。 …………………8分
(Ⅰ)方法二
由,,成等差数列,得, …………………2分
…………………4分
移项得
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(Ⅱ) 方法一
由(1)知:
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所以成等差数列。 …………………………………………12分
(Ⅱ) 方法二
由(1)知:
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所以成等差数列。 …………………………………………12分
17、解: (方法一)
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(方法二)
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(13)33 (14)7 (15)18 (16) 只要写出中一组即可,如等
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