题目列表(包括答案和解析)
8.若,则常数
的值为 ( )
A. B.
C.
D.
解:∵,令a-b=--a,这时
,∴a=-2,由此得b=-4,选(C)
7.若 ( )
A. B.
C.
D.
解:∵sinα+cosα=∈(1,
),∴排除(A),(B),当α=
时,tanα=1,sinα+cosα=
,这时
sinα+cosα≠tanα,∴选(C)
6.在这四个函数中,当
时,使
恒成立的函数的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解:∵当时,
,即当
时,使log2x,
恒成立,其它3个函数都可以举出反例当
时,使
不成立(这里略),选(B)
5.双曲线离心率为2,有一个焦点与抛物线
的焦点重合,则mn的值为 ( )
A. B.
C.
D.
解:抛物线的焦点为(1,0),∴
得m=
,n=
,∴mn=
,选(A)
4.函数的图象大致是 ( )
解:=
选(D)
3. ( )
A. B.
C.
D.
解:,选(C)
2.对任意实数a,b,c,给出下列命题:
①“”是“
”充要条件; ②“
是无理数”是“a是无理数”的充要条件③“a>b”是“a2>b2”的充分条件;④“a<5”是“a<3”的必要条件.
其中真命题的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解:①是假命题,∵由ac=bc推不出a=b;②是真命题;③是假命题;④是真命题,∵“a<3”“a<5”,选(B)
1.设P、Q为两个非空实数集合,定义集合P+Q=
,则P+Q中元素的个数是 ( )
A.9 B.8 C.7 D.6
解:集合P中和集合Q中各选一个元素可组成的组合数为其对应的和有一个重复:0+6=1+5,
故P+Q中的元素有8个,选(B)
( 15 )(本小题满分12分)
化简并求函数
的值域和最小正周期.
[答案]
解:
∴ ,
,
∴的值域是
,最小正周期是
.
( 16 ) (本小题共14分)
如图3所示,在四面体中,已知
,
.
是线段
上一点,
,点
在线段
上,且
.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)求二面角的大小.
[答案]
(Ⅰ)证明:在中, ∵
∴
∴△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形,
同理可证,△PAB是以∠PAB为直角的直角三角形,
△PCB是以∠PCB为直角的直角三角形.
在中,∵
∴ ∴
又∵
∴
(II)
解法一:由(I)知PB⊥CE,PA⊥平面ABC
∴AB是PB在平面ABC上的射影,故AB⊥CE
∴CE⊥平面PAB,而EF平面PAB,
∴EF⊥EC,
故∠FEB是二面角B-CE-F的平面角,
∵
∴,
∴二面角B-CE-F的大小为.
解法二:如图,以C点的原点,CB、CA为x、y轴,
建立空间直角坐标系C-xyz,则
,
,
,
,
∵为平面ABC的法向量,
为平面ABC的法向量,
∴,
∴二面角B-CE-F的大小为.
|
在平面直角坐标系
中,抛物线
上异于坐标原点
的两不同动点A、B满足
(如图4所示)
(Ⅰ)求得重心
(即三角形三条中线的交点)
的轨迹方程;
(Ⅱ)的面积是否存在最小值?若存在,请求出
最小值;若不存在,请说明理由.
[答案]
解法一:
(Ⅰ)∵直线的斜率显然存在,∴设直线
的方程为
,
,依题意得
,①
∴,②
③
∵,∴
,即
,④
由③④得,,∴
∴设直线的方程为
∴①可化为 ,∴
⑤,
设的重心G为
,则
⑥ ,
⑦,
由⑥⑦得 ,即
,这就是
得重心
的轨迹方程.
(Ⅱ)由弦长公式得
把②⑤代入上式,得 ,
设点到直线
的距离为
,则
,
∴ ,
∴ 当,
有最小值,
∴的面积存在最小值,最小值是
.
解法二:
(Ⅰ)∵ AO⊥BO, 直线,
的斜率显然存在,
∴设AO、BO的直线方程分别为,
,
设,
,依题意可得
由得
,由
得
,
设的重心G为
,则
① ,
②,
由①②可得,,即为所求的轨迹方程.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,,
,
∴
,
当且仅当,即
时,
有最小值,
∴的面积存在最小值,最小值是
.
解法三:(I)设△AOB的重心为G(x , y) ,A(x1, y1),B(x2 , y2 ),则
…(1)
不过∵OA⊥OB ,
∴,即
, …(2)
又点A,B在抛物线上,有,
代入(2)化简得,
∴,
∴所以重心为G的轨迹方程为,
(II),
由(I)得,
当且仅当即
时,等号成立,
所以△AOB的面积存在最小值,存在时求最小值1 .
( 18 ) (本小题共12分)
箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球,黄、白乒乓球的数量比为.现从箱中每次任意取出一个球,若取出的是黄球则结束,若取出的是白球,则将其放回箱中,并继续从箱中任意取出一个球,但取球的次数最多不超过n次.以
表示取球结束时已取到白球的次数.
(Ⅰ)求的分布列;
(Ⅱ)求的数学期望.
[答案]
解:(Ⅰ)取出黄球的概率是,取出白球的概率是
,则
,
,
,
……, ,
,
∴的分布列是
![]() |
0 |
1 |
2 |
… |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
… |
![]() |
![]() |
(Ⅱ)
…
①
…
②
①-②得
…
∴
∴的数学期望是
.
( 19 ) (本小题共14分)
设函数在
上满足
,
,且在闭区间[0,7]上,只有
.
(Ⅰ)试判断函数的奇偶性;
(Ⅱ)试求方程在闭区间
上的根的个数,并证明你的结论.
[答案]
解:(Ⅰ)∵,
∴
即 ,
∵在[0,7]上,只有,
∴,∴
,
∴是非奇非偶函数.
(Ⅱ)由,令
,得
,
由,令
,得
,
∴,
∴是以10为周期的周期函数,
由得,
的图象关于
对称,
∴在[0,11]上,只有,
∴10是的最小正周期,
∵在[0,10]上,只有,
∴在每一个最小正周期内只有两个根,
∴在闭区间上的根的个数是
.
( 20 ) (本小题共14分)
在平面直角坐标系中,已知矩形的长为2,宽为1,
、
边分别在
轴、
轴的正半轴上,
点与坐标原点重合(如图5所示).将矩形折叠,使
点落在线段
上.
(Ⅰ)若折痕所在直线的斜率为,试写出折痕所在直线的方程;
(Ⅱ)求折痕的长的最大值.
[答案]
解:(Ⅰ)( i ) 当时,此时A点与D点重合, 折痕所在的直线方程
,
( ii ) 当时,设A点落在线段
上的点
,
,则直线
的斜率
,
∵
∴,∴
,∴
又∵折痕所在的直线与的交点坐标(线段
的中点)
为,
∴折痕所在的直线方程,即
,
由( i ) ( ii )得折痕所在的直线方程为:
(Ⅱ)折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为
由(Ⅰ)知,,∵
,∴
,
设折痕长度为d,所在直线的倾斜角为,
( i ) 当时,此时A点与D点重合, 折痕的长为2 ;
( ii )当时,
设,
,
时,l与线段AB相交,此时
,
时,l与线段BC相交,此时
,
时,l与线段AD相交,此时
,
时,l与线段DC相交,此时
,
∴将k所在的分为3个子区间:
①当时,折痕所在的直线l与线段DC、AB相交,
折痕的长,
∴,
②当时,折痕所在的直线l与线段AD、AB相交,
令,即
,即
,
即 ,
∵,∴解得
令, 解得
,
故当时,
是减函数,当
时,
是增函数,
∵,
,
∴,
∴当时,
,
,
∴当时,
,
③当时,折痕所在的直线l与线段AD、BC相交,
折痕的长,
∴,即
,
综上所述得,当时,折痕的长有最大值,为
.
(11)函数的定义域是
.
[答案]
解:使有意义,则
,
∴ ,∴
,
∴的定义域是
.
(12)已知向量,
,且
,则
.
[答案]4
解:∵,∴
,∴
,∴
.
(13)已知的展开式中
的系数与
的展开式中
的系数相等,则
.
[答案]
解:的通项为
,
,
∴的展开式中
的系数是
,
的通项为
,
,
∴的展开式中
的系数是
∴ ,
.
(14)设平面内有条直线
,其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用
表示这
条直线交点的个数,则
=____________;当
时,
.(用
表示)
[答案]5,
解:由图B可得
,
由,
,
,
,可推得
∵n每增加1,则交点增加个,
∴
.
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