9．已知双曲线中心在原点且一个焦点为，直线y=x－1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为则此双曲线的方程是

[分析]　 本题主要考查双曲线的基本知识，以及推理和计算技能．

本题要求确定双曲线的方程，而双曲线的已知条件比较复杂，涉及到与已知直线相交的背景．在这种情况下，宜用待定系数法求解．

因为双曲线的中心在原点，点又是双曲线的一个焦点．故双曲线的方程可写为

a>0为待定系数，可用不同方法求得．

解法1　 将y=x－1代人方程①，整理得

由直线y=x－1与双曲线相交于M、N两点，故此二次方程有不等的两个实根分别为点M、N的横坐标．从而MN中点的横坐标为

解法2　 依题设，可记

其中t为某个常数，且t≠0．

由M、N在双曲线上，得

将两式相减，整理得

上述解法计算量偏大，为了快速解答，可采用定性与定量相结合的方法求解．

解法3　 由双曲线与直线y=x－1有两个交点M和N，且焦点在x轴上，可知双曲线渐近线的斜率绝对值应大于1，由此排除B、C；其次，由MN的中点的横坐标为可估计双曲线的张口应比较大，D的可能性比较大．为此，作定量检验，将直线方程代人A所示的双曲线得

[答案]　 D

8．已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n|=

A．1　　　　　　 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　

[分析]　 本题主要考查二次方程根与系数的关系，等差数列等基本知识，以及数学思维和分析处理问题的能力．

注意到题设4次方程的两个2次因式中，只有常数项不同，可知等差数列的4个项中首尾两项应为其中一个因式的两根，而中间两项为另一因式的两根．所以，在此基础上，可用不同的引入方式，采取适当的计算程序，求得|m－n|的值．

解法1　 因为抛物线有公共的对称轴x=1，又它们与x轴的4个交点的横坐标(即题设方程的4个根)成等差数列，所以可设为

的一个根，则方程的另一个根为

解法3　 依题意可设原方程的4个根为

则对任意实数x，有

比较系数，得

(注：m、n的位置也可对调，不影响结果)．

解法4　 从解原方程入手．由

求得原方程的根为：

由题设，这4个根组成首项为的等差数列，所以，必有1－m>0，1－n>0，且

[答案]　 C

7．设处切线的倾斜角的取值范围为，则点P到曲线y=f(x)对称轴距离的取值范围为

[分析]　 本题主要考查导数的几何意义，多项式函数求导数的方法，点到直线的距离，二次函数的性质等基本知识，以及推理和计算技能．

解答本题，宜先求出的取值范围，进而根据曲线y=f(x)对称轴的方程，便可求得点P到对称轴距离的取值范围，如解法1．此外，也可用特殊值排除法求解．

解法1　 依题设知点P的横坐标必须且只须满足

因为抛物线y=f(x)的对称轴为直线：

所以点P到直线的距离为

解法2　 取特殊值a=1，b=－2，c=0．可知曲线y=f(x)的对称轴为直线l：x=1．曲线在点P处切线的斜率为

由及tanx的单调性，依题设知k的取值范围为[0，1]，所以

得点P到对称轴距离的取值范围为据此，可排除选项A，C，D，得答案B．

[答案]　 B

6．棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为

[分析]　 本题主要考查棱柱、棱锥等多面体的基本知识和体积计算，以及基本的空间想象能力．

题设的八面体(记为ABCDEF)如图所示．图中将原正方体略去，以使图线清晰．该八面体的三条轴线AC、BD、EF两两互相垂直，且AC=BD=EF=a，

把这个八面体看作共底(BFDE)的两个四棱锥的组合体，应用棱锥体积计算公式，得所求的八面体的体积为

对于空间想像力比较好的考生，不作图便可由心算得出答案．心算的方法比较多，例如，与上法共通地把八面体看作共底的两个四棱锥，底面积是正方体的一个面的面积之半，锥高是正方体棱长之半，即可得体积为又如，由对称性，将正方体切成相等的八个小正方体，这时题没的八面体也被切成八个相等的三棱锥，每个三棱锥的体积等于小正方体的体积的所以八面体的体积是正方体体积的即

[答案]　 C

[分析]　 本题主要考查复数的四则运算，以及简单的数值计算技能．

解答本题必须正确用好复数的四则运算法则，既可用复数的代数形式进行演算，也可用三角形式进行演算．

[答案]B

[分析]　 本题主要考查三角函数的基础知识和基本三角函数公式的简单应用，以及基本的计算技能．

作为常规解法，可先由已知条件求sin x，推得tan x的值，再应用倍角正切公式求得答案，如解法1；作为灵活解法，可用估值快速求解，如解法2．

(注：也可用下式得解：

而不需求tanx．)

[答案]　 D

A．(－1，1)　　　　　　　　　　　　　 B．(－1，+∞)

C．(－∞，－2)∪(0，+∞)　　　　 D．(－∞，－1)∪(1，+∞)

[分析]　 本题主要考查分段函数的概念、指数函数与幂函数的性质、不等式组的求解等基础知识，以及简单的推理计算能力．

根据函数f(x)的分段表达式，画个草图可快速判断，如解法4；也可将不等式化为等价的不等式组求解，如解法1；也可用特殊值排除法求解，如解法2；还可以利用单调性，结合解方程求解，如解法3．

解不等式组①得解不等式组②得综合得的取值范围为(－∞,－1)∪(1，+∞)．

解法2　 由排除A和B；由f(0.04)=0.2<1，排除C，得答案D．

解得x=－1；由

解得x=1．

因为f(x)在(－∞，0]上是减函数，在(0，+∞)上是增函数，所以得的取值范围为(－∞，1)∪(1，+∞)．

[答案]　 D

4．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

则P的轨迹一定通过△ABC的

A．外心　　　　　 B．内心　　　　　　　　 C．重心　　　　　　　　 D．垂心

[分析] 　本题主要考查平面向量的线性运算等基本知识和计算技能．

解法1　 为书写方便与直观起见，宜作图表示(如下图)．图中，有

则动点P满足

因此，点P的轨迹一定通过△ABC的内心．得答案为B．

解法2　 当λ>0时，

因为A，B，C不共线，

所以AP平分∠BAC，

得点P的轨迹一定通过△ABC的内心．

解法3　 考虑特殊情形，取△ABC为等腰直角三角形，即：如图．

这时，△ABC的外心为AC的中点D，垂心为点B．而由题设知点P的轨迹是由点A出发，方向为的射线，不经过点D，也不经过点B，故排除A、D两个选项．其次，由于所以射线不平分BC，即不通过△ABC的重心，排除选项C．从而得选项B为答案．

[答案]　 B

[分析]　 本题主要考查对数函数、指数函数的性质和求反函数的方法，以及基本的计算技能．

根据反函数的概念，求给定函数的反函数，可用解方程的方法，如解法1；作为选择题，还可用特殊值排除法求解，如解法2．

解法1　 解方程不等式组

得y>O，因此，所求的反函数为

解法2　 因为点(2，ln3)在原函数的图像上，所以点(1n3，2)应在反函数的图像上．因此，由In3>0，可排除选项C、D；由

可排除A，应取B作答．

[答案]　 B

22．(本小题满分14分)

　　　　 数列的前n项和为S_n，满足：，

　 (1)求证：数列是等比数列；

　 (2)设数列的公比为，数列满足的

通项公式；

　 (3)记

21．(本小题满分12分)

已知△OPQ的面积为S，且；

　 (1)若，求向量的夹角的取值范围；

　 (2)设以O为中心，P为焦点的椭圆经过点Q，当上变

动时，求的最小值，并求出此时的椭圆方程.

20．(本小题满分12分)

(理)设函数是定义在上的奇函数，当时，

为实数)

①求：当的解析式；

②若在区间上为增函数，求a取值范围；

③求在区间上的最大值.

　 (文)已知，函数，

①当时，判断函数上单调性，并加以证明；

②求的取值范围，使上为增函数.

19．(本小题满分12分)

　　　　 某工厂去年的某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本

为8元. 今年，工厂第一次投入100万元(科技成本)，并计划以后每年比上一年多投入

100万元(科技成本)，预计产量年递增10万元，第n次投入后，每只产品的固定成本

为为常数，)，若产品销售价保持不变，第n次

投入后的年利润为万元.

　 (1)求k的值，并求出的表达式；

　 (2)问从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？

18．(本小题满分12分)

　　　　 如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=AA₁=2，，E、F、G

　 分别是AC、AA₁、AB的中点.

①求异面直线AC₁与GF所成的角.

②求二面角B₁-EG-B的大小.