(三)两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角，两条直线的交点，点到直线的距离

说明　 这部分内容近年高考在填空、选择及解答题中都常考查到.

使用公式求l₁到l₂的角时，应注意k₁、k₂的顺序.过两直线交点的直线系方程中不 包括直线l₂.

例3　 光线由点(-1，4)射出，遇直线2x+3y-6=0被反射，已知反射光线过点(3 ，).求反射光线所在直线方程.

解：　 设(-1，4)点关于已知直线对称点为(x′，y′).

则点(-1，4)与点(x′，y′)的连线段被已知直线垂直平分，故可得　 解得，再由两点式可得所求直线方程为13x-26y+85=0.

(二)直线方程，直线的斜率，直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，直线方程的一 般形式

例2　 直线xcosα-y+1＝0的倾斜角的变化范围是　　　　　　　　　　　 .

解　 直线方程化为斜截式y=cosα·x+1，故k=cosα，

又-1≤k≤1，故倾角所取范围是［0，］和［，π］。

(一)有向线段、两点间距离、线段的定比分点

例1　 在△ABC中，A(4，1)，B(7，5)，C(-4，7)，求∠BAC平分线的长.

解：　 由两点距离公式求得│AB│=5，│AC│=10，设角平分线交BC于D(x，y)，由角平分线性质得λ=，从而求得D(，)，故可得│AD│=.

5.直线关于点的对称

直线关于点的对称直线一定是一条与已知直线平行的直线，由中点坐标公式可得

直线Ax+By+C=0关于点P(x₀,y₀)的对称直线方程是

A(2x₀-x)+B(2y₀-y)+C=0

即　　　　 　　　　　　　　　Ax+By-(2Ax₀+2By₀+C)=0.

“直线关于直线”对称

(1)几种特殊位置的对称

已知曲线f(x,y)=0，则它：

①关于x轴对称的曲线是f(x,-y)=0；

②关于y轴对称的曲线是f(-x,y)=0；

③关于原点对称的曲线是f(-x,-y)=0；

④关于直线y=x对称的曲线f(y,x)=0；

⑤关于直线线y=-x对称的曲线

f(-y,-x)=0；

⑥关于直线x=a对称的曲线是

f(2a-x,y)=0；

⑦关于直线y=b对称的曲线是

f(x,2b-y)=0

4.点与直线的位置关系

点P(x₀,y₀)在直线Ax+By+C=0上的充要条件是

Ax₀+By₀+C=0.

点到直线的距离公式

点P(x₀,y₀)到直线Ax+By+C=0的距离是

d=

据此可推出：

(1)两平行线间的距离公式

两平行直线Ax+By+C₁=0和Ax+By+C₂=0间的距离为

d=.

3.直线的方程

直线方程的几种形式

名称	已知条件	方程	说明
斜截式	斜率k纵截距b	y=kx+bx	不包括y轴和平行于y轴的直线
点斜式	点P 1(x1,y1)斜率k	y-y1=k(x-x1)	不包括y轴和平行于y轴的直线
两点式	点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)		不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线
截距式	横截距a纵坐标b	=1	不包括坐标轴，平行于坐标轴和过原点的直线
一般式	-	Ax+By+C=0	A、B不同时为0

两条直线的位置关系

当直线不平行于坐标轴时：

(1)直线l₁到l₂的角　 直线l₁依逆时针方向旋转到与l₂重合时所转的角，叫做l₁ 到l₂的角.

计算公式

设直线l₁，l₂的斜率分别是k₁，k₂，则

tgθ=　　　 (k₁k₂≠-1)

(2)两条直线的夹角一条直线到另一条直线的角小于直角的角，即两条直线所成的锐角叫做两条直线所成的角，简称夹角.这时的计算公式为：tgθ=

2.线段的定比分点

有向直线l上的一点P，把l上的有向线段分成两条有向线段分成两条有向线段，则和的数量之比

λ=

定比分点公式　 若P₁、P₂两点坐标为(x₁,y₁)，(x₂,y₂),点P(x,y)分有向线段成定比

λ= (λ≠-1)，

则P点坐标

x=，　　 y=.

(1).中点公式　 设P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂)，则P₁P₂的中点P(x,y)的坐标是

x=,　　 y=.

(2)三角形的重心公式　 若△ABC的各顶点坐标分别为A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),C(x₃,y ₃)，则△ABC的重心G(x,y)的坐标是

x=，　　　 y=

1.有向线段

一条有向线段的长度，连同表示它的方向的正负号，叫做有向线段的数量.有向线段的数量用AB表示.

若有向线段在数轴上的坐标为A(x₁)，B(x₂)，则

它的数量　　 AB=x₂-x₁

它的长度　　 ｜AB｜=｜x₂-x₁｜

平面上两点间的距离　 设P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂)是坐标平面上的任意两点，则 它们的距离

｜P₁P₂｜=

当P₁P₂⊥Ox轴时，｜P₁P₂｜=｜y₂-y₁｜；当P₁P₂⊥Oy轴时，｜P₁P₂｜ =｜x₂-x₁｜；点P(x,y)到原点O的距离，｜OP｜=.

三角形的中线长公式

如图，AO是△ABC的BC边上的中线.则｜AB｜²+｜AC｜²

=2［｜AO｜²+｜OC｜²］

3.掌握两条直线平行与垂直的条件.能够根据直线的方程判定两条直线的位置关系.会求两条 直线的夹角和交点.掌握点到直线的距离公式.

2.理解直线斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率的公式，熟练掌握直线方程的点斜式，掌 握直线方程的斜截式、两点式、截距式以及直线的一般式.能够根据条件求出直线的方程.