16、解：(1)设P(x₀,y₀)(x₀>a,y₀>0)，又有点

A(－a,0),B(a,0).

…………………………(7分)

∴CD垂直于x轴.若CD过椭圆C₁的右焦点，则

故可使CD过椭圆C₁的右焦点，此时C₂的离心率为.…………(12分)

15、解：设初中x个班，高中y 个班，则……………(4分)

设年利润为s，则……(6分)

作出(1)、(2)表示的平面区域，如图，易知当直线1.2x+2y=s过点A时，s有最大值.

　 由解得A(18，12).……(10分)

(万元).

即学校可规划初中18个班，高中12个班，

可获最大年利润为45.6万元.……(12分)

14、(1)解：作出椭圆的左准线l，作MN⊥l交l于点N.

　 设，椭圆的离心率是e，椭圆的半焦距是c.

根据椭圆的定义得：，所以

，同理可得：

所以

由||MF₁|·||MF₂|的最小值为得：

　 ，解得…………4分

[注：若学生没有证明|MF₁|=

而直接使用此结论，则(Ⅰ)中扣去1分]

(Ⅱ)解：依题意得双曲线C₂的离心率为2，

设C₂的方程是假设存在适合题意的常

数，①先来考查特殊情形下的值：

PA⊥x轴时，将x=2c代入双曲线方程，解得|y|=3c，

因为|AF₁|=3c，所以△PAF₁是等腰直角三角形，

∠PAF₁=90°，∠PF₁A=45°，此时=2………7分

②以下证明当PA与x轴不垂直时，∠PAF₁=2∠PF₁A恒成立.

设，由于点P在第一象限内，所以直线PF₁斜率存在，；

因为PA与x轴不垂直，所以直线PA斜率也存在，.

因为所以，将其代入上式并化简得：

因为∠PAF₁+∠PAx=180°，

所以即tan2∠PF₁A=tg∠PAF₁.………………12分

因为∠∠所以∠PAF₁、

2∠PF₁A所以∠PAF₁=2∠PF₁A恒成立.

综合①、②得：存在常数，使得对位于双曲线C₂在第一象限内的任意一点p，

∠PAF₁=2∠PF₁A恒成立.……………………14分

[注：②中如果学生认为∠PAF₁、2∠PF₁A本题不扣分]

13、(I)由题意，设()，由余弦定理, 得

　　　 ．

又·，当且仅当时，· 取最大值，

此时取最小值，令，解得，，∴，故所求的轨迹方程为.

(II)设，，则由，可得，

故，∵、在动点的轨迹上，故且，消去可得，解得，

又，∴，解得，故实数的取值范围是．

11、当时，有，此时有不等式　　(＊)先证左不等式，去分母有理化

　　 　　得证. 再证右不等式，去分母有理化　 　　

综合以上可知，不等式(＊)获证.　 故存在常数满足题意．

12、(Ⅰ)法一: ，

解得　　　　　　　　　　　　　　　　　

　 法二：同上得

　 　 (Ⅱ)

20、已知函数

(1)设处取得极值，其中求证：；

(2)设点A(，求证：线段AB的中点C在曲线

19、解关于x的不等式

18、已知椭圆的一条准线方程是其左、右顶点分别是A、B；双曲线的一条渐近线方程为3x－5y=0.

(Ⅰ)求椭圆C₁的方程及双曲线C₂的离心率；

(Ⅱ)在第一象限内取双曲线C₂上一点P，连结AP交椭圆C₁于点M，连结PB并延长交椭圆C₁于点N，若. 求证：

17、 　 如图，过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆相交于A、B两点，直线过线段AB的中点M，同时椭圆上存在一点与右焦点F关于直线l对称，求直线l和椭圆的方程.