1. 理解n次根式与n次方根的概念，熟练掌握用根式表示一个数的算术根

2、会进行根式的运算

1、通过探索与推广，明确数学概念产生的严谨性与科学性

2、通过探究与思考，培养学生的交往能力和理性思维能力

  通过概念的来龙去脉，加深对事物的规律性的认识，体会知识的发生、发展过程

[教学重点]1.根式的概念.     2.n次方根的性质.

[教学难点]的运算结果

教学过程：

32的5次方根，   的5次方根．

说明：①若是奇数，则的次实数方根记作； 若则，若则；

②若是偶数，且则的正的次实数方根记作，的负的次实数方根，记作：；（例如：8的平方根  16的4次方根）

     ③若是偶数，且则没意义，即负数没有偶次方根；

     ④      ∴；

⑤式子叫根式，叫根指数，叫被开方数。  ∴．

练习：求下列式子的值：

 ．

2．的次方根的性质

一般地，若是奇数，则；

            若是偶数，则

类别

初中

推广（高中）

定义

x²=a,x叫a的平方根；x³=a,x叫a的立方根

xⁿ=a,x叫a的n次实数方根

符号

x²=a,x=±（a>0）；x³=a,x=

xⁿ=a,n为偶数时，x=±(a>0);n为奇数时，x=

相关名称

(a叫被开方数，3叫根指数)整体为三次根式

(a叫被开方数，n叫根指数)整体为n次根式

最简根式

等价化简后，被开方数的指数小于根指数且二者互质，被开方数不含分母的根式

同类根式

化简成最简根式后，被开方数与根指数都相同的根式

例1求值

①=  -8  ；

②=  |-10|  =  10  ；

③=  ||  =    ；

④= |a- b|  =  a- b  .

去掉‘a>b’结果如何？

例2、已知x²-2x-3≤0，化简+

解：由已知-1≤x≤3,原式=|x+1|+|x-3|=x+1+3-x=4

练习：求使等式=（2-a）成立的实数a的取值范围。[-2,2]

练习2：变为=（2+a）呢？

例3、求值

分析：（1）题需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质；

解：

三、总结：

1、今天主要将初中阶段的根式进行了推广，推广后原来的运算法则仍然成立。

2、当n为任意正整数时，()=a.②当n为奇数时，=a；当n为偶数时，=|a|=

2、补充习题

1、在、、、中，最简的根式个数是_______________

2、在、4、5、中同类根式有_________________

3、=成立的条件是_________________

4、当8<x<10时，-=____________________

5、化简式子的值：⑴；⑵

6、求使等式=(3-a)成立的a的取值范围

7、化简，其中1<a<2

8*、化简a-b-

[答案]

1、2；   2、、4、；    3、x≥2；    4、2x-18；   5、⑴x²;⑵;6、[-3,3]

7、1-；    

8*、a+b与a-b同正时；a+b与a-b同负时

2.2.1.（2）分数指数幂

[三维目标]

1、理解分数指数幂的含义

2、掌握有理指数幂的运算性质

   通过学习根式、分数指数幂、有理指数幂之间的内在联系，培养学生认识问题、分析问题的能力

   用联系的观点看问题，体会从具体到一般的研究方法

[重点与难点]有理指数幂的运算和化简

（一）复习：（提问）

1．根式的概念及运算性质

2．练习：

（1）              ；（2）              ；（3）              ；

（4）             ；（5）            ；（6）               ；

（7）              ．

（二）新课讲解：

1．分数指数幂：        

即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式；

如果幂的运算性质（2）对分数指数幂也适用，

例如：若，则，， ∴   ．

即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。

规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是；

     （2）正数的负分数指数幂的意义是．

2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用

即    

说明：（1）有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用；

     （2）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义。

3．例题分析：

例1．求值：   ， ， ，   ．

（解略）

例2． 用分数指数幂的形式表示下列各式：

       ，   ，   .

解：=；

    =；

    =．

练习：判断下列式子的正误

⑴a⁰=1(a∈R)    ⑵   ()ⁿ=(b≠0，n∈Z)    ⑶实数a的n次方根为（n∈N₊）

解：⑴错，a=0时无意义

⑵错，a=0, n∈Z_-时无意义

⑶错，a未必有n次方根

例3．计算下列各式的值（式中字母都是正数）．

（1）；   （2）；

解（1）

       =

       =；

   （2） ==．

例4．计算下列各式：

（1）         （2）．

解：（1）==

        ==；

    （2）=．

例5．已知，求下列各式的值：（1）；（2）.

解：（1）

，

∴，

又由得，∴，

所以.

（2）（法一）

，

（法二）

而

∴，

      又由得，∴，

所以.

评述：（1）第（1）题注重了已知条件与所求之间的内在联系，但开方时正负的取舍容易被学生所忽视，应强调以引起学生注意；

（2）第（2）题解法一注意了第（1）小题结论的应用，显得颇为简捷，解法二注重的是与已知条件的联系，体现了对立方和公式、平方和公式的灵活运用。

（三）小结：1．学习了分数指数幂的概念和运算性质；

          2．会熟练的利用有理数指数幂的运算性质进行分数指数幂和根式的运算。

补充习题：

1、将化为分数指数幂的形式为                      （      ）

A． B．  C．  D．

2、化简的结果为

A.a¹⁶                                            B.a⁸                                                          C.a⁴                                                          D.a²

3、化简［］的结果为                                 （      ）

A．5    B．  C．－      D．－5

4、.=_____________

5、用分数指数幂表示下列式子，

6、化简(2)(-6)÷（-3）

7、计算：-

8*、已知a=2,b=5,求的值

答案：1、A；   2、C；   3，B；   4，1；   5、,;  6、4a;

7、0；    8*、-50

2.2.2指数函数（1）图象和性质归纳

[三维目标]

1.理解指数函数的概念，

2．能正确作出其图象，

3．函数图象之间的变换

通过作图体现性质，归结出底数a的变化情况对函数值的影响

体验函数式的表达功能，感受实际问题与数学问题的转化，加深对数形结合的认识

[教学重点]：指数函数的图象

[教学难点]：指数函数的图象，以及图象的变换

（一）复习：（提问）

1．幂的运算性质.

2．引例：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……1个这样的细胞分裂次后，得到的细胞个数与的函数关系式是：   ．

这个函数便是我们将要研究的指数函数，其中自变量作为指数，而底数2是一个大于0且不等于1的常量。

（二）新课讲解：

1．指数函数定义：

一般地，函数（且）叫做指数函数，其中是自变量，函数定义域是．

思考：为什么要规定a>0,且a1呢？

①若a=0，则当x>0时，=0；当x0时，无意义.

②若a<0，则对于x的某些数值，可使无意义. 如，这时对于x=，x=，…等等，在实数范围内函数值不存在.

③若a=1，则对于任何xR，=1，是一个常量，没有研究的必要性.

为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a¹1在规定以后，对于任何xR，都有意义，且>0.

练习：判断下列函数是否为指数函数。

⑴y=2×3^x,⑵y=;⑶y=;⑷y=3^x+1;⑸y=2^3x;⑹y=2^-x;⑺y=x²

答：⑴⑵⑶⑷⑺不是，⑸⑹是

说明：与最简根式一样，指数函数指的是等价化简后的y=a^x(a>0且a¹1)形式

2.指数函数（且）的图象：

例1．用电子表格画出，y=()^x,y=10^x,y=()^x的图象,通过图象归纳指数函数的性质（图（1））．

解：列表如下：

x

…

-3

-2

-1

-0.5

0

0.5

1

2

3

…

y=

…

0.13

0.25

0.5

0.71

1

1.4

2

4

8

…

y=

…

8

4

2

1.4

1

0.71

0.5

0.25

0.13

…

x

…

-1.5

-1

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

1

1.5

…

y=

…

0.03

0.1

0.32

0.56

1

1.78

3.16

10

31.62

…

y=

…

31.62

10

3.16

1.78

1

0.56

0.32

0.1

0.03

…

指数函数y=a^x的性质：

类别

内容

定义域

（-∞，+∞）

值域

（0，+∞）

过定点

(0,1)（即x=0时，y=1）

单调性

a>1时单调增，0<a<1时单调减

a的大小与图象的关系

在y轴右侧，a越大，图象越考上

观察：指出函数与，y=10^x与y=()^x的图象有什么关系？由此你能得到什么结论？（关于y轴对称，一般的函数与的图象关于轴对称。）

例2、对于a>0,a≠1，函数y=a^x-1的图象恒过______点

解答：y=a^x-1可以看作y=a^x的图象向右平移1个单位得到，y=a^x的图象恒过定点(0,1)，故y=a^x-1的图象恒过点(1,1)

练习：y=a^x-1+2恒过______定点（点(1,3)）

例3、y=2^x图象向右平移一个单位，再向上平移两个单位，得到y=f(x)，则f(x)的解析式为_____？反之，若y=f(x)的图象向右平移一个单位，再向上平移两个单位，得到y=2^x图象，则f(x)=______

解：(1)f(x)=2^x-1+2

(2)[方法一] y=f(x)向右平移一个单位得到y=f(x-1)，再向上平移两个单位y=f(x-1)+2,∴y=f(x-1)+2=2^x∴y=f(x-1)=2^x-2=2^(x-1)+1-2,f(x)=2^x+1-2

说明：这一方法，沿着题的叙述顺序展开，称正向思维

[方法二]将y=2^x其沿相反方向平移，即：向左平移一个单位，再向下平移两个单位，得到y=2^x+1-2=f(x)

说明：这一方法将原问题思路倒过来，称逆向思维

例4、求下列函数的定义域、值域：

（1）    （2）    （3）   ．

解：（1）   ∴   原函数的定义域是，令 则 ∴得，所以，原函数的值域是．

（2）   ∴   原函数的定义域是， 令  则， 在是增函数    ∴，所以，原函数的值域是．

（3）原函数的定义域是，令   则， 在是增函数，  ∴，所以，原函数的值域是．

练习：教材P52----3

        2．了解函数与图象间的关系。

       3、由平移求解析式有正向和逆向两个思路

作业：教材P54----P55习题2.2(2)1，6，7，10

 [补充习题]

1、函数y=(2a²-3a+2)a^x是指数函数，则a的取值集合为_____________

2、函数f(x)=4+a^x-1(a>0,a≠1)的图象恒过的定点坐标是____________

3、函数f(x)=a^x-(b+1)(a>0,a≠1)的图象不过第二象限，则实数a、b的范围是__________

4、函数f(x)=min{1,2^x}的图象是（      ）

5、指数函数f(x)=(a²-1)^x是减函数，则a的范围是__________________

6、一个指数函数y=f(x)的图象过(2,4)点，求f(-1)的值

7、求下列函数的定义域和值域：

⑴ (a>0且a≠1)                   ⑵

8*、已知f(x)=x²-bx+c,f(1+x)=f(1-x),且f(0)=3,比较f(b^x)与f(c^x)的大小

[参考解答]

1、{1/2}

2、(1,5)

3、a>1,b≥0

4、A

5、（-，-1）∪(1, )

6、

7、解：⑴要使函数有意义，必须  ,  

  当时   ；  当时   

  ∵   ∴   ∴值域为

⑵要使函数有意义，必须   即

  ∵     ∴

  又∵     ∴值域为

8*、b=2,c=3,x≥0时，3^x≥2^x≥1,f(t)↑，f(3^x)≥f(2^x);x<0时，1>2^x>3^x,f(x)↓，f(2^x)<f(3^x)；总之f(c^x)≥f(b^x)

2.2.2.指数函数（2）指数函数性质的应用

 [三维目标]

教学重点：指数函数性质的应用

教学难点：指数函数的单调性应用.

[教学过程：]

（一）复习：（提问）

指数函数的概念、图象、性质

练习：P52---1,2

例1、解关于x的方程9^x+1=27×^2x-1

解：原方程等价于：3^2x+2=2x+2=x+,  x=

说明：解含有指数的方程一般要化成同底数的形式,有：a^f(x)=a^g(x)f(x)=g(x);

例2、解关于x的不等式3×4^x-2×6^x>0  

解：原不等式等价于3×4^x>2×6^x>()^x=()^x,x<1

 说明：解含有指数的不等式一般要化成同底数的形式,有：a>1时a^f(x)>a^g(x)f(x)>g(x);0<a<1时，a^f(x)>a^g(x)f(x)<g(x)

练习：1、书52页4

例3．设是实数，，

（1）试证明：对于任意在为增函数；

（2）试确定的值，使为奇函数。（3）在(2)的条件下，求函数的值域

解：（1）证明：设，则

，

由于指数函数在上是增函数，且，所以即，

又由，得，，所以，即．

因为此结论与取值无关，所以对于取任意实数，在为增函数。

（2）若为奇函数，则，即

变形得：，解得：，所以，当时, 为奇函数。

[另法]f(x)为定义在R上的奇函数，f(0)=0,a=1,余下证明同上

（3）[方法一]（单调性法）y=1-单调增，而2^x+1>1,所以0<<2, -1<1-<1,f(x)的值域为(-1,1)

[方法二]（反表示法）2^x=->0∴，所以，原函数的值域是．

例4、已知3^x+6^x+9^xa<0在上恒成立，求实数a的范围

解：原不等式即a<-()^x-()^x恒成立，设-()^x-()^x=f(x),只要a<f_min(x)，而f(x)↓，f_min(x)=f(1)=-1,∴a<-1

[补充习题]

1、一个指数函数f(x)=a^x在[1,2]上最大值比最小值大，则实数a的值为___________

2、、、、从小到大的顺序是_________________

3、若(a²+a+2)^x>(a²+a+2)^1-x,则x的范围是_________________

4、函数f(x)的定义域为(0,1),则f()的定义域为__________________

5、a>1，则函数y=的单调增区间是______________,单调减区间是__________

6、已知函数f(x)=(a^x-a^-x)(a>0,a≠1)是R上的增函数，求实数a的范围

7、已知9^x-10×3^x+9≤0，求函数y=4^1-x-4×+2的最值

8*、设f(x)=  ⑴0<a<1求f(a)+f(1-a)的值；

⑵求f()+f()+f()+……+f()的值

[解答参考]

1、或

2、<<<

3、x>

4、(-∞，0)∪（2，+∞）

5、、

6、或，解得a>或0<a<1

7、1≤3^x≤9,0≤x≤2,t=∈[,1],

y=f(t)=4t²-4t+2,f_max(t)=f(1)=2,f_min(t)=f()=1

8*、⑴1；⑵500

2.2.2.指数函数（3）(指数函数应用题)

 [三维目标]

   1、学会从具体事例中，建立与指数有关的关系式，再用指数的性质加以解决

  2、了解建摸的过程

   通过有具体值归纳到一般的函数关系式

体会从具体到抽象，从特殊到一般的思维过程及归纳、总结的思想方法

[重点、难点]指数函数的建摸

[过程]

例1、某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%，画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩量留是原来的一半（结果保留1个有效数字）。

分析：通过恰当假设，将剩留量表示成经过年数的函数，并可列表、描点、作图，进而求得所求。

解：[方法一]设这种物质量初的质量是1，经过年，剩留量是.

经过1年，剩留量=1×84%=0.84¹；

经过2年，剩留量=1×84%=0.84²；

……

一般地，经过x年，剩留量，

根据这个函数关系式可以列表如下：

0

1

2

3

4

5

6

1

0.84

0.71

0.59

0.50

0.42

0.35

用描点法画出指数函数的图象。从图上看出，只需.

答：约经过4年，剩留量是原来的一半。

通过观察还可以得到函数解析式

经过年数

剩留量

1

0.84

2

0.84²

3

0.84³

x

猜想0.84^x

   y=0.84^x(x>0)

说明：1、一眼不易看出函数关系式，要从具体的、简单的数值到一般的情况来进行

2、写函数关系式时，注意函数定义域，不写默认为式子有意义的一切x的范围集合

[方法二]设经过x年剩留量为f(x),由已知：

这样：=0.84,=0.84,=0.84,……,=0.84，要消去中间项只要以上各式相乘得：=0.84^x-1,f(x)=f(1)0.84^x-1=0.84^x

说明：1、以上解法反复用式子=0.84,称迭代法；为消去中间项而进行的乘法运算相应称迭乘，还可以进行加法运算，称迭加。

2、迭代法中，相应的条件f(1)=0.84称初始值，f(x)=f(x-1)0.84称迭代式或递推式。计算时前面看不出消去谁时，向后多写几个式子；后面看不出消去谁时，向前多写几个式子。

练习：1已知f(x)为定义在N^*上的函数，且f(1)=1,f(x)-f(x-1)=1,求 f(x)

(解答：f(x)=x)

2、已知镭经过100年剩留原来质量的?，设质量为1的镭经过年后的剩留量为，则与之间的函数关系式为      

 解答：

例2、某种储蓄按复利计算利息，若本金为元，每期利率为，设存期是，本利和（本金加上利息）为元

（1）写出本利和随存期变化的函数关系式

（2）如果存入本金1000元，每期利率为2.25?，试计算5期后的本利和

分析：复利是一种计算利息的方法，即将前一期的利息和和本金加在一起作为下一期的本金，再计算下一期的利息，如此反复，得到最后一期的本利和

解：（1）已知本金为元，第1期后的本利和，

第2期后的本利和为；

第3期后的本利和为，…；

第期后的本利和为，，

即本利和随存期变化的函数关系式为，，

思考：1、第几期后的本利和超过本金的1.5倍？   (19)

2、要使10期后的本利和翻一翻，利息应为多少？(7.2%)

说明：有关利息计算问题，要注意以下几点：(1)分清利息的计算是按单利还是复利;(2)正确确定函数解析式中的指数(3)不能误以为求各期的和，另外运用列举、分析、归纳的方法探求变化规律是解决数学问题的重要途径之一，要注意体会并能熟悉掌握这种这种数学思想

例3、对于5年可以成才的树木，在此期间的年生长率为?，而5年后的年生长率为?，树木成才后，既可以出售树木，重新栽种新的树苗，也可以让其继续生长，若按10年的情形考虑，哪一种方案可以获得较大的木材量？

分析：本题可以由题目的条件，分别计算出两种栽种方案最终获得的木材量，据此得到最终需要选择的栽种方案

解：设新树苗的木材量为，则10年后有两种结果

（1）连续生长10年，此种情形的木材量为（1+18%）（1+10%）

（2）生长5年后，重新栽种新树苗，此种情形的木材量为（1+18%）

则因为所以可得因此，按十年的情形考虑，生长5年后，重新栽种新树苗可以获得较大的木材量

 [总结]1、建立函数模型的一般方法图示为：实际问题一般的函数关系式（有限的情况）;或：实际问题一般的函数关系式（一般情况）

  2、建立函数模型时，一定注意加注定义域，不写默认为式子有意义的一切x的范围集合

[作业]教材P55---5,10,12

[补充习题]

1、某服装商贩同时卖出两套服装，卖出价为168元/套，以成本计算，一套盈利20%,而另一套亏损20%,则此商贩（       ）

A，不赔不赚    B，赚37.2元    C，赚14元    D，赔14元

2、已知偶函数f(x)的定义域为R,当x≥0时有f(x)=,求f(x)的解析式

3、用清水漂洗衣服，若每次能去污垢的，则存留污垢与漂洗次数x的函数关系为___________,若使存留的污垢不超过原有的1%，则至少要漂洗___________次

4、将奇函数的图象沿x轴的正方向平移2个单位，所得的图象为C，又设图象与C关于原点对称，则对应的函数为    ________________

5、如果函数y=a^x（a>0，a≠1）的图象与函数y=b^x（b>0，b≠1）的图象关于y轴对称，则a、b的关系有 ________________

6、一片树林现有木材30000m³,如果每年增长5%,经过x年树林中有木材y  m³,写出x与y 的函数关系式，并求经过多少年，木材可以增加到40000m³(结果取整数)？

7、当a>1时，对于函数f(x)=

⑴判断函数的奇偶性；⑵判断它的单调性并证明；⑶求函数的值域

8*、某医疗研究所开发一种新药，根据检测：成人按规定的剂量服药后每毫升血液中的含药量y（ug）与时间t(小时)之间近似地满足如图所示的曲线

⑴写出y与t之间的函数关系式y=f(t),并注明函数定义域

⑵当每毫升血液中含药量低于0.25ug时没有药效①求服药一次治疗疾病的有效时间②若t=5时，第二次服药，问t=8时每毫升血液中含药量为多少？

 [答案]1、D ;

 2、f(x)=  ;         3、y=(x∈N),4次;   

4、           5、ab=1;       6、y=30000(1+5%)^x  (x≥0)    6年

7、⑴奇函数；⑵单调增，证明略；⑶(-1,1)

8*、⑴f(t)=⑵①4.9373②第一次留0.5⁵+第二次0.5^-1=1.03125