题目列表(包括答案和解析)

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21.(本题12′)设函数=-0<<1。

(1)求函数的单调区间、极值。

(2)若当时,恒有,试确定的取值范围。

[解]:(1)  令得x=a或x=3a

由表


()
α
()

()


0
+
0


递减

递增
b
递减

可知:当时,函数f ()为减函数,当时,函数f()也为减函数:当时,函数f()为增函数。

(2)由,得-≤-。∵0<<1, ∴+1>2

=-在[+1,+2]上为减函数。∴[]max =′(+1)=2-1,

[]min=′(+2)=4-4.于是,问题转化为求不等式组的解。

解不等式组,得≤1。又0<<1, ∴所求的取值范围是≤1。

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20、(本题12′)用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少?

[解]:设长方体的宽为x(m),则长为2x(m),高为

.

故长方体的体积为

从而

V′(x)=0,解得x=0(舍去)或x=1,因此x=1.

当0<x<1时,V′(x)>0;当1<x时,V′(x)<0,

故在x=1处V(x)取得极大值,并且这个极大值就是V(x)的最大值。

从而最大体积VV′(x)=9×12-6×13(m3),此时长方体的长为2 m,高为1.5 m.

答:当长方体的长为2 m时,宽为1 m,高为1.5 m时,体积最大,最大体积为3 m3

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19、(本题12′)在某次普通话测试中,为测试汉字发音水平,设置了10张卡片,每张卡片印有一个汉字的拼音,其中恰有3张卡片上的拼音带有后鼻音“g”,

(1)现对三位被测试者先后进行测试,第一位被测试者从这10张卡片总随机抽取1张,测试后放回,余下2位的测试,也按同样的方法进行。求这三位被测试者抽取的卡片上,拼音都带有后鼻音“g”的概率;

(2)若某位被测试者从10张卡片中一次随机抽取3张,求这三张卡片上,拼音带有后鼻音“g”的卡片不少于2张的概率.

[解]:(1)每次测试中,被测试者从10张卡片中随机抽取1张卡片上,拼音带有后鼻音“g”的概率为,因为三位被测试者分别随机抽取一张卡片的事件是相互独立的,因而所求的概率为

(2)设表示所抽取的三张卡片中,恰有张卡片带有后鼻音“g”的事件,且其相应的概率为

     ,   

因而所求概率为

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18、(本题12′)三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如图所示,截面为平面

(1)证明:平面平面

(2)求二面角的大小.

解:(Ⅰ)如图,建立空间直角坐标系,

点坐标为

,又

平面,又平面平面平面

(Ⅱ)平面,取为平面的法向量,

设平面的法向量为,则

,如图,可取,则

即二面角

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17.(本题10′)设函数R),若使上为增函数,求a的取值范围.

[解]:,由题知:

上恒成立  而

递增且最小值为

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16.已知函数,则函数f(x)的最小值是   0  

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15、=   -3 

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14、已知函数  -2  

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13.,则  3  

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12、设数列的前项和满足,那么(  C  )

A.     B.    C.       D.

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