题目列表(包括答案和解析)
21.[解](1)由题意,,
…(4分)
[解](2)∵函数递减,
∴对每个自然数,有
>
>
,
则以,
,
为边长能构成一个三角形的充要条件是
+
>
,
即,
…(7分)
解得,
∴
…(10分)
[解](3)∵,
∴,
,
…(12分)
于是,
数列是一个递减的等差数列。
因此,当且仅当,且
时,数列
的前
项的和最大。
由,
得,
∴ …(16分)
20.[解](1),
,
得指令为
,
…(4分)
(2)设机器人最快在点处截住小球…(6分)
则因为小球速度是机器人速度的2倍,所以在相同时间内有
…(8分)
即
得。
∵要求机器人最快地去截住小球,即小球滚动距离最短,
∴
故机器人最快可在点处截住小球,
…(10分)
所给的指令为
…(14分)
19.[解](1)当时,
,
在区间[
]上为增函数,
…(3分)
在区间[
]上的最小值为
…(6分)
(2)[解法一]在区间的[]上,
的恒成立
恒成立,
…(8分)
设,
递增,∴当
时,
, …(12分)
于是当且仅当时,函数
恒成立,
故
…(14分)
(2)[解法二],
当时,函数
的值恒为正,
…(8分)
当时,函数
递增,
故当时,
,
…(12分)
于是当且仅当时,
函数恒成立,
故
…(14分)
18.[解法一]如图建立空间直角坐标系, …(2分)
由题意,有
,
,
设D点的坐标为,
则,
…(6分)
则,
且所成的角的大小为
。
∴,
得,故BD的长度是4, …(10分)
又,
因此四面体ABCD的体积是,
…(12分)
[解法二]过A引BE的平行线,交CB的延长线于F,∠DAF是异面直线BE与AD所成的角。
∴∠DAF=
,
…(4分)
∵E是AC的中点,∴B是CF的中点,
AF=2BE=。
…(6分)
又BF,BA分别是DF,DA的射影,且BF=BC=BA,
∴DF=DA …(8分)
三角形ADF是等腰三角形,
AD=,
…(10分)
因此四面体ABCD的体积是
…(12分)
17.[解]设椭圆C的方程为 …(2分)
由题意,
,于是
。
∴椭圆C的方程为
…(4分)
由得
因为该二次方程的判别,所以直线与椭圆有两个不同交点。 …(8分)
设
则,
故线段AB的中点坐标为
…(12分)
12.
9.-462 10.
11.(0,5)
5.1 6.9 7.侧棱相等/侧棱与底面所成角相等/…… 8.
1.4 2. 3.(-4,0),(6,0)
4.
3.第17题至第22题中左端所注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题的累加分数。给分或扣分均以1分为单位。
解答
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