18．(甲小题)

　　 (I)设圆锥的底面半径为R，母线长为l，

由题意得：,　　　　　　　　　　　

即,　 ………4分所以母线和底面所成的角为　 ………6分

(II)设截面与圆锥侧面的交线为MON，其中O为截面与AC的交点，则OO₁//AB且　　 ………8分

在截面MON内，以OO₁所在有向直线为y轴，O为原点，建立坐标系，则O为抛物的顶点，所以抛物线方程为x²=－2py，点N的坐标为(R，－R)，代入方程得

R²=－2p(－R)，得R=2p，l=2R=4p.

∴圆锥的全面积为.　　 ………12分

18(乙小题)

(Ⅰ)连AC₁，AB₁. 由直三棱柱的性质，得AA₁⊥平面A₁B₁C₁，

∴AA₁⊥A₁B₁，则四边形ABB₁A₁为矩形.　　　　　　　　　 ……………………2分

由矩形性质得，AB₁过A₁B的中点M.

在△AB₁C₁中，由中位线性质，得MN//AC₁.

又AC₁平面ACC₁A₁，MN平面ACC₁A₁，

∴MN//平面ACC₁A₁.　　　　　　　　　 　　　　　　……… …………4分

(Ⅱ)BC⊥平面ACC₁A₁，AC₁平面ACC₁A₁，

　　　 ∴BC⊥AC₁ 在正方形ACC₁A₁中，A₁C⊥AC₁

　　　 又BC∩A₁C=C，∴AC₁⊥平面A₁BC.　　　　　　　　 ………………………7分

　　　 由MN//AC₁，∴MN⊥平面A₁BC.　　　　　　　　　　 ……………………8分

(Ⅲ)作CE⊥AB于E.

∵平面ABC⊥平面ABB₁A₁，∴CE⊥平面ABB₁A_{1 。}

　作EF⊥A₁B于F，连FC.　　 由三垂线定理得A₁B⊥CF.

　∠EFC为二面角A-A₁B-C的平面角　　　　　　　　 …………………10分

令BC=2，在等腰Rt△ABC中，可求出.

在Rt△A₁BC中，由BC=2，A₁C=2，求出A₁B=2.

　　　　 由FC·A₁B=BC·A₁C, 求出

　　　　 故　 ∠EFC=60°.　　　　　　　　　　　　　　　　 …………………12分

17． (I)由图得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　 ………6 分

(II).　　 ………8分

当且仅当即时，最小值为2.

所以当时，最大，值为.

　　　　　　　　　　　　　　　 ……………12分

13． 　14． 　15．　 16. 大于 　

1.C　 2.C　 3.A　 4.A　 5.D　 6.C　 7.B　 8.A 　9.D　 10.B　 11.D　 12.C

22．(本小题满分14分)

　 已知函数在区间[0，1]单调递增，在区间单调递减，

　　　 (I)求a的值；

　　　 (II)若点的图象上，求证点A关于直线的对称点B也在函数的图象上；

　　　 (III)是否存在实数b，使得函数的图象与函数的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b的值；若不存在，试说明理由.

高中学生学科素质训练

高三数学同步测试(3)

21．(本小题满分14分)

　　　 已知动点与双曲线的两个焦点、的距离之和为定值，且

的最小值为．

(I)求动点的轨迹方程；

(II)若已知，、在动点的轨迹上且，求实数的取值范围．

20．(本小题满分12分)

　　 如右图是在竖直平面内的一个“通道游戏”，图中竖直线段和斜线段都表示通道，并且在交点处相通，若竖直线段有一条的为第一层，有二条的为第二层，依次类推，现有一颗小弹子从第1层的通道里向下运动。求：

(I)该小弹子落入第4层第2个竖直通道

的概率(从左向右数)；

(II)猜想落入第n+1层的第m个通道里的概率。

(III)该小弹子落入第层第个竖直通道的

　 路径数与该小弹子落入第层第个竖直通

　道的路径数之和等于什么？

[假设在交点处小弹子向左或向右是等可能的]．

19．(本小题满分12分)

某次国际网球邀请赛共有128位选手参加，比赛采用单淘汰制，即每轮淘汰一半的选手，剩下一半的选手进入下一轮. 在第1轮被淘汰的每位选手可获得出场费1万元，在第2轮被淘汰的选手可获得2万元，在第k轮被淘汰的选手可获得2 ^{k – 1} 万元，而冠军则可获得128万元.

(I)求本次网球邀请赛共需出场费多少万元？

(II)设网球场有3000个坐位，第一轮比赛门票价格为a元( a为整数)，第二轮比赛门票价格为a + 50元，第k轮比赛门票价格为a + 50(k – 1 )元. 假设每场比赛均满座，且每张门票可观看一轮的所有比赛，则要使本次邀请赛不亏本，第一轮门票价格a应该如何确定？

18．(本小题满分12分)

(甲)已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，它被过底面中心O₁且平行于母线AB的平面所截，若截面与圆锥侧面的交线是焦参数(焦点到准线的距离)

为p的抛物线.

(I)求圆锥的母线与底面所成的角；

(II)求圆锥的全面积．

(乙) 已知：如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=BC=CC₁，M、N分别为A₁B、B₁C₁的中点.

(Ⅰ)求证：MN//平面ACC₁A₁；

(Ⅱ)求证：MN⊥平面A₁BC；

(Ⅲ)求二面角A-A₁B-C的大小.

17．(本小题满分10分)

　如图，长为3的线段OP绕点O 旋转，设，Q　 是OP上一点，且，过点P，Q向坐标轴作垂线，垂足为M，N，R，记.

(I) 求函数的解析式;

(II) 求的最大值，并求出相应的.

注意：考生在(18甲)、(18乙)两题中选一题作答，如果两题都答，只以(18甲)计分.