题目列表(包括答案和解析)

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1、已知集合P={x|x2–9<0},Q={x|x2–1>0},则   

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3.如图,正三棱柱的底面边长为a,点M在边BC上,△是以点M为直角顶点的等腰直角三角形.

 (1)求证点M为边BC的中点;

 (2)求点C到平面的距离;

 (3)求二面角的大小.

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2.如图,直四棱柱的侧棱的长是a,底面ABCD是边长AB=2aBD=a的矩形,E的中点。       

(.1)求二面角E-BD-C的大小;

(2)求三棱锥的体积.   

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1.正三棱锥PABC的底面边长为aEF分别是侧棱PBPC的中点,且EAF三点的截面垂直于侧面PBC

(1) 求棱锥的全面积;(2) 侧面与底面所成的角的余弦值.

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4.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,EF分别是BCA1D1的中点.

    (1)求证:四边形B1EDF是菱形;

(2)求直线A1CDB的距离;

(3)求直线AD与平面B1EDF所成的角.

(4)求平面B1D1CA1DB的距离

5多 面 体

例1.斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为a的正三角形,侧棱长为b

侧棱AA1ABAC都成45°的角,求棱柱的侧面积和体积.

例2.三棱锥各侧面与底面均成45°角,底面三角形三内角ABC满足2BA+C,最大边与最小边是方程3x2-27x+32=0的两根.

(1)求棱锥的高;(2) 求棱锥的侧面积.

3.如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为4,MBC的中点,NCC1上一点,满足MNAB1

(1)试求三棱锥的体积;

(2)求点C1到平面AMN的距离。

 

4.如图,三棱柱的底面是边长为a的正三角形,侧面是菱形且垂直于底面,∠=60°,M的中点.

(1)求证:BMAC

(2)求二面角的正切值;

(3)求三棱锥的体积.

习题

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3.如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的九条棱均相等,DBC上一点,ADC1D.

(1).求证:截面ABC1⊥侧面BCC1B1.

(2)求二面角C-AC1-D的大小.

(3)若AB=2,求直线A1B与截面ADC1的距离.

 

.

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2.如图,正三棱柱A1B1C1-ABC中,底面边长和侧棱长都是1,DE分别是C1CA1B1的中点.

(1)求点E到平面ABD的距离:

(2)求二面角A-BD-C的正切值.

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4.在三棱锥S-ABC中,已知SA=4,AB=ACBC=3,∠SAB=∠SAC=45º,SA与底面ABC所成的角为30º.

(1)求证:SABC

(2)求二面角S-BC-A的大小;

(3)求三棱锥S-ABC的体积.

答案:(3)9

4 距离

  例1、如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等腰直

角三角形,∠ACB=900AC=1,C点到AB1的距离为

CE=DAB的中点.

(1)求证:AB­1⊥平面CED

(2)求异面直线AB1CD之间的距离;

(3)求二面角B1-AC-B的平面角.

解:(1)∵DAB中点,△ABC为等腰直角三角形,

ABC=900,∴CDABAA1⊥平面ABC,∴CDAA1.

CD⊥平面A1B1BA  ∴CDAB1,又CEAB1

 ∴AB1⊥平面CDE

(2)由CD⊥平面A1B1BA  ∴CDDE

AB1⊥平面CDE  ∴DEAB1,

DE是异面直线AB1CD的公垂线段

CE=AC=1 , ∴CD=

(3)连结B1C,易证B1CAC,又BCAC ,

∴∠B1CB是二面角B1-AC-B的平面角.

RtCEA中,CE=BC=AC=1,∴∠B1AC=600

,  ∴,

 , ∴.

例2、如图,正方形ABCDABEF的边长都是1,而且平面ABCDABEF互相垂直。点MAC上移动,点NBF上移动,若CM=BN=

(1)    求MN的长;

(2)    当为何值时,MN的长最小;

(3)    当MN长最小时,求面MNA与面MNB所成的二面角的大小。

例3. 如图,平面a∩平面bMN,           

   二面角AMNB为60°,点A∈a,

 BbCMN,∠ACM=∠BCN=45°.

   AC=1,

   (1) 求点A到平面b的距离;

   (2) 求二面角ABCM的大小.   

答案(1); (2)arctan(提示:求出点A在平面 b 的射影到直线BC的距离为).

例4、已知直三棱柱ABCA1B1C1的侧棱AA1=4cm,

  它的底面△ABC中有ACBC=2cm,∠C=90°,EAB

  中点.

  (1) 求证:CEAB1所在的异面直线的距离等于cm; 

  (2) 求截面ACB1与侧面ABB1A1所成的二面角的大小.

答案 (2) arccos.

练习:1.已知:如图,△ABC中,AB=6cm,AC=8cm,BC=10cm,P是平面ABC外一点,且PA=PB=PC=6cm.

(1)求点P到平面ABC的距离;

(2)求PA与平面ABC所成角的余弦.

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3.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,PD=aPA=PC=a

(1)求证:PD⊥平面ABCD

(2)求异面直线PBAC所成角的大小;

(3)求二面角A-PB-D的大小;

(4)在这个四棱锥中放入一个球,求球的最大半径.

答案:(2)90°(3)60°(4)(2-√2)a/2

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2..如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为,D,E分别为AA1,B1C1的中点.

(1)求证:平面AA1E⊥平面BCD

(2)求直线A1B1与平面BCD所成的角.

答案:(2)30°

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