2.如图，正三角形ABC与直角三角形BCD成直二面角，且∠BCD=90°，∠CBD=30°.

(1)求证：AB⊥CD；

(2)求二面角D-AB-C的大小；

答案与提示：(2)arctan

3　 空间角

例1、如图1，设ABC-ABC是直三棱柱，F是AB的中点，且

(1)求证：AF⊥AC；　 (2)求二面角C-AF-B的大小．

解：(1)如图2，设E是AB的中点，连接CE，EA．由ABC-ABC是直三棱柱，知AA⊥平面ABC，而CE平面ABC，所以CE⊥AA，

∵AB=2AA=2a，∴AA=a，AA⊥AE，知AAFE是正方形，从而AF⊥AE．而AE是AC在平面AAFE上的射影，故AF⊥AC；

(2)设G是AB与A1E的中点，连接CG．因为CE⊥平面AABB，AF⊥AE，由三垂线定理，CG⊥AF，所以∠CGE就是二面角C-AF-B的平面角．∵AAFE是正方形，AA=a，

∴，　 ∴，

∴tan∠CGE=，∠CGE＝，从而二面角C-AF-B的大小为。

例2、 一条长为2的线段夹在互相垂直的两个平面a、b之间，AB与a成45o角，与b成角，过A、B两点分别作两平面交线的垂线AC、BD，求平面ABD与平面ABC所成的二面角的大小．

　　　　　　 以CD为轴，将平　　　　　　　　 以AB为轴，将平　

　　　　　　 面BCD旋转至与　　　　　　　　　 面ABD旋转至与

　　　　　　 平面ACD共面　　　　　　　　　　 平面ABC共面

图 1　　　　　　　　 　　　　图 2　　　　　　　　　　 图 3　　　　　

解法1、过D点作DE⊥AB于E，过E作EF⊥AB交BC于F(图1)，连结DF，则∠DEF即为二面角D－AB－C的平面角．

为计算△DEF各边的长，我们不妨画出两个有关的移出图．在图2中，可计算得DE＝1，EF＝，BF＝＝．在移出图3中，

∵　 cosB＝＝,

在△BDF中，由余弦定理：

DF ²＝BD ²+BF ²－2BD ﹒ BF ﹒ cosB

　 ＝()²+()² －2﹒﹒ ＝．

(注：其实，由于AB⊥DE，AB⊥EF，∴　 AB⊥平面DEF，∴　 AB⊥DF．

又∵　 AC⊥平面b，　∴　AC⊥DF．　 ∴　DF⊥平面ABC，　 ∴　 DF⊥BC，即DF是Rt△BDC斜边BC上的高，于是由BC ﹒ DF＝CD ﹒BD可直接求得DF的长．)

在△DEF中，由余弦定理：

cos∠DEF＝＝＝.

∴　 ∠DEF＝arccos.此即平面ABD与平面ABC所成的二面角的大小．

解法2、过D点作DE⊥AB于E，过C作CH⊥AB于H，则HE是二异面直线CH和DE的公垂线段，CD即二异面直线上两点C、D间的距离．运用异面直线上两点间的距离公式，得：

　CD ²＝DE ²+CH ²+EH ²－2DE　 CH　 cosq　　　　　　　 (*)

(注：这里的q是平面ABD与平面ABC所成的二面角的大小，当0＜q ^o≤90^o，q 亦即异面直线CH与DE所成的角；当90^o＜q ＜180^o，异面直线所成的角为180^o－q .)

∵　 CD＝DE＝1，CH＝，HE＝，

从而算得　 cosq＝，　 ∴　 q＝arccos.

例3、如图1，直三棱柱ABC－ABC的各条棱长都相等，

D为棱BC上的一点，在截面ADC中，若∠ADC＝，

求二面角D－AC­₁－C的大小．

解：由已知，直三棱柱的侧面均为正方形，　　　　　　　　　　 图 7

∵ ∠ADC₁＝90^o，即AD⊥C₁D．又CC₁⊥平面ABC，

∴ AD⊥CC₁.　∴ AD⊥侧面BC₁，∴ AD⊥BC，　　　　　　　　　　 图1

∴ D为BC的中点．　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　

过C作CE⊥C₁D于E，∵　 平面ADC₁⊥侧面BC₁，

∴ CE⊥平面ADC₁．取AC₁的中点F，连结CF，则CF⊥AC₁．

连结EF，则EF⊥AC₁(三垂线定理)

∴ ∠EFC是二面角D－AC₁－C的平面角．

在Rt△EFC中，sin∠EFC＝.　 ∵ BC＝CC₁＝a

易求得　 CE＝，CF＝.

∴ sin∠EFC＝， ∴　 ∠EFC＝arcsin.

∴ 二面角D－AC₁－C的大小为arcsin.

例4、(2004年北京春季高考题)如图，

四棱锥的底面是边长为1的正方形，　　　　　　　　　　　　 图(1)

SD垂直于底面ABCD，SB=√3。

　　 (I)求证；　　

(II)求面ASD与面BSC所成二面角的大小；

(III)设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小。

(Ⅳ)求SD与面SAB所成角的大小。

分析：本小题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。

　　 (I)证明：如图1

　　　 ∵底面ABCD是正方形　　

SD⊥底面ABCD　　 DC是SC在平面ABCD上的射影

　由三垂线定理得

(II)解：SD⊥底面ABCD，且ABCD为正方形

　　 可以把四棱锥补形为长方体，如图2

　　 面ASD与面BSC所成的二面角就是面与面所成的二面角，

又　　 为所求二面角的平面角

　　 在中，由勾股定理得　　 在中，由勾股定理得

　　 　　即面ASD与面BSC所成的二面角为

图2　　　　　　　　　　　　　　　　　 图3

　　 (III)解：如图3　　

　　 是等腰直角三角形　　 又M是斜边SA的中点

面ASD，SA是SB在面ASD上的射影

由三垂线定理得　　 异面直线DM与SB所成的角为

(Ⅳ) 45°

练习：1.设△ABC和△DBC所在的两个平面互相垂直，且AB=BC=BD，∠ABC=

∠DBC=120º.求：

(1).直线AD与平面BCD所成角的大小.

(2).异面直线AD与BC所成的角.

(3) .二面角A-BD-C的大小.

答案：(1)45°(2)90°(3)180°-arctan2

1.在四棱锥P-ABCD中，已知PD⊥底面ABCD，底面ABCD为等腰梯形,且∠DAB=60°，AB=2CD，∠DCP=45°，设CD=a．

(1)求四棱锥P-ABCD的体积．

(2)求证：AD⊥PB．

答案与提示：(1) a³

22.(本小题满分14分)

定义在的三个函数f(x)、g(x)、h(x),已知f(x)=lnx , g(x)= ,且g(x)在[1，2]为增函数，h(x)在(0，1)为减函数.

(I)求g(x)，h(x)的表达式；

(II)求证：当x>1时，恒有;

(III)把h(x)对应的曲线向上平移6个单位后得曲线，求与g(x)对应曲线的交点个数，并说明道理.

21.(本小题满分12分)

已知椭圆的焦点在x轴上，其右顶点关于直线x-y+4=0的对称点在直线

l: 上.

(I)求椭圆方程；

(II)过椭圆左焦点F的直线交椭圆于A、B两点，交直线l于点C，设O为坐标原点，且，求的面积.

20.(本小题满分12分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是直线梯形，为直角，G是的重心，E为PB中点，F在线段BC上，且CF=2FB.

(I)证明：FG//平面PAB；

(II)证明：FGAC；

(III)求二面角P-CD-A的一个三角函数值，使得FG平面AEC

19.(本小题满分12分)

已知，数列的前n项和为，点在曲线y=f(x)上，且.

(I)求数列的通项公式；

(II)数列的首项，前n项和为，且.求数列的通项公式.

12.95，13.95)中的概率；

(III)根据样本，对总体的平均值进行估计.

13.7,12.7,14.7,13.8,13.3,12.5,13.5,13.6,13.1,12.6.

其分组情况如下：

(I)完成上面频率分布表；

(II)根据上表，在给定的坐标系中画出频率分布直方图，并根据样本估计总体数据落在

18.(本小题满分12分)

有同一型号的汽车100辆，为了解该型号汽车每耗油1L所行路程的情况，现从中随机抽出10辆在同一条件下进行耗油1L所行路程实验，得到如下样本数据(单位：km)

17.(本小题满分12分)

设函数，其中a=(2cosx,1),b=(cosx, ),.

(I) 求f(x)的最大值；

(II)在中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且求b、c的值.