19.(1)解：a₁=S₁=1;

当n≥2时，有a_n=S_n－S_n－1=n²－(n－1)²=2n－1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ①

而a₁=1也适合①式，故数列{a_n}的通项公式为a_n=2n－1.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5分

(2)证明：T_n=,由错位相减法得

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 10分

∴T_n＜1－＜1.(亦可用数学归纳法证明)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 12分

∵0≤x≤,∴≤x+≤.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分

结合函数y=－和y=sin(x+)的图象，易知≤－<1.

∴－2<a≤－就是所求.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 9分

(2)∵x∈［0, ］,∴当－2<a≤－时，函数图象关于直线x=对称，故x₁+x₂=.

12分

18.解：由|1－|≤2得－2≤x≤10　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分

非p:A={x|x>10或x<－2}　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

因m<0,由x²－2x+1－m²>0(m<0)得

命题q:B={x|x<1+m或x>1－m}　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 7分

又因为非p是q的充分非必要条件，所以AB　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 9分

所以,得－3≤m<0.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 12分

16.④⑤

15.y=－cos(2x－)(答案不惟一，只要符合题意均给满分)

22.(本小题满分14分)

已知f(x)是定义在［－1，1］上的奇函数，且f(1)=1,若a,b∈［－1,1］,a+b≠0时，有＞0.

(1)判断函数f(x)在［－1，1］上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；

(2)解不等式：f(x+)＜f();

(3)若f(x)≤m²－2pm+1对所有x∈［－1,1］,p∈［－1,1］(p是常数)恒成立，求实数m的取值范围.

高三数学(理)全国统一标准测试(一)答案

21.(本小题满分12分)

已知数列{a_n}中，a₁=14,a₂=2,且满足a_n+2－2a_n+1+a_n=0(n∈N^*)

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)设S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|,求S_n;

(3)设b_n=,T_n=b₁+b₂+…+b_n.是否存在最大整数m,使得任意n∈N^*,均有T_n>.

20.(本小题满分12分)

我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段来达到节约用水的目的.某市用水收费的方法是：水费=基本费+超额费+损耗费.

若每户用量不超过最低限量a(m³)时，只付基本费8元和每户每月的定额损耗费c元；若用水量超过a(m³)时，除了付同上的基本费和损耗费外，超过部分每1 m³付b元的超额费.已知每户每月的定额损耗费不超过5元.

该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费用如下表所示：

(1)请根据上表中的数据，求a,b,c的值；

(2)写出某户在一个月中的水费y元与在这个月中的用水量x(m³)的函数关系式.

19.(本小题满分12分)

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²;设b_n=,记数列{b_n}的前n项和为T_n.

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)证明：T_n<1.

18.(本小题满分12分)

已知命题p:{x||1－|≤2,x∈R},和命题q:{x|x²－2x+1－m²>0,m<0,x∈R},若非p是q的充分非必要条件，求实数m的取值范围.

17.(本小题满分12分)

设sinx+cosx+a=0在［0，］内有且只有两个x的值x₁和x₂使等式成立.

(1)求常数a的取值范围；

(2)求x₁+x₂的值.