①函数y=sin⁴x-cos⁴x的最小正周期是.

②终边在y轴上的角的集合是{a|a=|.

③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点.

④把函数

⑤函数

其中真命题的序号是       ① ④    （（写出所有真命题的编号））

解答：①，正确；②错误；③，和在第一象限无交点，错误；④正确；⑤错误．故选①④．

【点评】  本题通过五个小题全面考查三角函数的有关概念、图象、性质的基础知识. 三角函数的概念，在今年的高考中，主要是以选择、填空的形式出现，每套试卷都有不同程度的考查.预计在2008年高考中，三角函数的定义与三角变换仍将是高考命题的热点之一.

【例2】（2007年安徽）函数的图象为C：

①     图象关于直线对称;

②     ②函数在区间内是增函数;

③由的图象向右平移个单位长度可以得到图象.

   以上三个论断中正确论断的个数为

  （A）0                           （B）1                        （C）2                 （D）3

解答 C  ①图象关于直线对称，当k=1时，图象C关于对称；①正确；②x∈时，∈(－，)，∴ 函数在区间内是增函数；②正确；③由的图象向右平移个单位长度可以得到，得不到图象，③错误；∴ 正确的结论有2个，选C.

【点评】  本题主要考查了三角函数的图象和性质及三角函数图象的平移变换.

【例3】  （2007年安徽）已知为的最小正周期，

，且a?b．

求的值．

解答：因为为的最小正周期，故．

因，又．故．

由于，所以

．

【点评】 本小题主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式，考查运算能力和推理能力．属于三角函数求值问题.

     本类问题一般有三种形式：①给式求值，②给值求值，③给值求角.其一般解法是：将角化为特殊角或将三角函数化为同角、同名函数进行合并与化简，最后求出三角函数的值来.

【例4】  （2007年天津）已知函数．

（Ⅰ）求函数的最小正周期；

（Ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值．

解答：（Ⅰ）解：．

因此，函数的最小正周期为．

（Ⅱ）解法一：因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又，，，

故函数在区间上的最大值为，最小值为．

解法二：作函数在长度为一个周期的区间上的图象如下：

由图象得函数在区间上的最大值为，最小值为．

【点评】  本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数的性质等基础知识，考查基本运算能力．

【例5】 （2007年四川）如图，l₁、l₂、l₃是同一平面内的

三条平行直线，l₁与l₂间的距离是1， l₂与l₃间的距离是2，

正三角形ABC的三顶点分别在l₁、l₂、l₃上，则△ABC的边长

是                     （   ）

（A）                  （B）          

（C）                  （D）

解答：D  因为l₁、l₂、l₃是同一平面内的三条平行直线，

l₁与l₂间的距离是1，l₂与l₃间的距离是2，所以过A作

l₂的垂线，交l₂、l₃分别于点D、E，如图，则∠BAD=

∠BAC+∠CAE，即∠BAD=60°+∠CAE,记正三角形ABC

的边长为a,两边取余弦得：

，

即

整理得，故选D. 

【点评】  本题以平面几何为平台，主要考查运用三角函数的相关知识解决实际问题的能力.本题意图与新课标接轨，需引起高三备考学生的密切关注.

【例6】 （2007年全国Ⅰ）设锐角三角形的内角的对边分别为，．

（Ⅰ）求的大小；

（Ⅱ）求的取值范围．

解：（Ⅰ）由，根据正弦定理得，所以，

由为锐角三角形得．

（Ⅱ）

．

由为锐角三角形知，

，． ，

所以．由此有，

所以，的取值范围为．

【点评】 (1)问考查正弦定理的简单应用，当属容易题，（2）问主要考查了三角函数两角和与差的正余弦公式应用，但题干中△ABC为锐角三角形是不可忽略的条件，必须在分析题目时引起足够的重视.

【例7】 如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，

乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于

甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船

航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向

的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？

解法一：如图，连结，由已知，

，

，

又，

是等边三角形，

，

由已知，，

，

在中，由余弦定理，

．

．

因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）．

答：乙船每小时航行海里．

解法二：如图，连结，由已知，，，

，

．

在中，由余弦定理，

．

．

由正弦定理

，

，即，

．

在中，由已知，由余弦定理，

．

，

乙船的速度的大小为海里/小时．

答：乙船每小时航行海里．

【点评】 本题是解斜三角形的应用题，考查了正、余弦定理的应用，等边三角形的判定.求解本类问题时应按照由易到难的顺序来求解，最重要的是首先要对图形进行有效分割，便于运用正、余弦定理.

    由于近年高考题突出以能力立意，加强对知识和应用性的考查，故常常在知识的交汇点处出题.用三角函数作工具解答应用性问题虽然是高考命题的一个冷点，但在备考时也需要我们去关注.

【例8】  已知函数，

（I）证明：当时，在上是增函数；

（II）对于给定的闭区间，试说明存在实数       ，当时，在闭区间上是减函数；

（III）证明：

解答：(Ⅰ)证明：由题设得

又由≥,且t＜得t＜，即

＞0

由此可知，为R上的增函数

(Ⅱ)证法一：因为＜0是为减函数的充分条件，所以只要找到实数k，使得

＜0，即t＞

在闭区间[a,b]上成立即可

因此y=在闭区间[a,b]上连续，故在闭区[a,b]上有最大值，设其为k，t＞k时, ＜0在闭区间[a,b]上恒成立，即在闭区间[a,b]上为减函数

证法二：因为＜0是为减函数的充分条件，所以只要找到实数k，使得t＞k时

＜0，

在闭区间[a,b]上成立即可

令则＜0()当且仅当

＜0()

而上式成立只需

即

成立　取与中较大者记为k，易知当t＞k时，＜0在闭区[a,b]成立，即在闭区间[a,b]上为减函数

(Ⅲ)证法一：设

易得

≥

令则易知当x＞0时, ＞0;当x＜0, ＜0

故当x=0时，取最小值，所以

≥，

于是对任意x、t，有≥，即≥

证法二：设=

≥，当且仅当

≥0

只需证明

≤0，即

≥1

以下同证法一

证法三：设=，则

易得当t＞时, ＞0; t＜时, ＜0，故当t=取最小值即

≥

以下同证法一

证法四:

设点A、B的坐标分别为，易知点B在直线y=x上，令点A到直线y=离为d，则

≥

以下同证法一

【点评】  本题是辽宁卷的压轴题，在三角函数，导数，最值，不等式恒成立的有关问题的交汇处命题，真正体现了从整体的高度和思维价值的高度上设计试题的宗旨，注重了学科的内在联系和知识的综合性.

(5) 三年的“平面向量”考了哪些内容？

平面向量是高中数学的三大数学工具之一，具有代数和几何的双重性.向量是数形结合的典范，是高考数学综合题命制的基本素材和主要背景之一，也是近年高考的热点.主要涉及的知识点有：

向量基本概念及相关的基本理论在高考试题中可以以选择、填空的形式出现，特别是向量加减法的运算及其几何意义在试题的难易程度上可以偏难一些。

【例1】 （2006年北京卷）若三点共线，则的值等于              .

解：， ，依题意，有（a－2）?（b－2）－4＝0

即ab－2a－2b＝0所以＝

【例2】 （2006年上海） 如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是      （      ）

（A）＝    

（B）＋＝

（C）－＝

（D）＋＝0

解：由向量定义易得， （C）选项错误；.

二、向量的数量积与运算律

【例3】 （2006年辽宁卷）设,,,点是线段上的一个动点,,若,则实数的取值范围是            （      ）

(A)   (B)  (C)    (D)

解答：

解得: ,因点是线段上的一个动点,所以,即满足条件的实数的取值范围是,故选择答案B.

【点评】 本题考查向量的表示方法,向量的基本运算,定比分点中定比的范围等等.

【例4】 （2006年辽宁） 已知点,是抛物线上的两个动点,是坐标原点,向量,满足.设圆的方程为

(I) 证明线段是圆的直径;

【解析】(I)证明1:

整理得:

设M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点,则

即

整理得:

故线段是圆的直径

证明2:

整理得:

……..(1)

设(x,y)是以线段AB为直径的圆上则

即

去分母得:

点满足上方程,展开并将(1)代入得:

故线段是圆的直径

证明3:

整理得:

……(1)

以线段AB为直径的圆的方程为

展开并将(1)代入得:

故线段是圆的直径

【点评】本小题考查了平面向量的基本运算.

【例5】 （2005年全国卷）点在平面上作匀速直线运动，速度向量v=(4,-3)（即点的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位）．设开始时点的坐标为（-10，10），则５秒后点的坐标为

（A）（-2，4）  （B）（-30，25）  （C）（10，-5）  （D）（5，-10）

解：设5秒后点P运动到点A,则,

∴=(10,-5),选(C)

【例6】  （2006年湖北卷）设函数 f（x）=a?（b+c），其中向量a=（sinx,-cosx），b=（sinx,-3cosx），c=（-cosx,sinx），x∈R.

（Ⅰ）求函数的最大值和最小正周期；

（Ⅱ）将函数的图像按向量d平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d.

   解：(Ⅰ)由题意得，f(x)＝a?(b+c)=(sinx,－cosx)?(sinx－cosx,sinx－3cosx)

               ＝sin²x－2sinxcosx+3cos²x＝2+cos2x－sin2x＝2+sin(2x+).

所以，f(x)的最大值为2+，最小正周期是＝.

（Ⅱ）由sin(2x+)＝0得2x+＝k.，即x＝,k∈Z，

于是d＝（，－2），k∈Z.

因为k为整数，要使最小，则只有k＝1，此时d＝（?，?2）即为所求.

   【点评】本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力。

   【例7】 （2005年江苏卷）△ABC中，则△ABC的周长为

（A）        （B）

（C）           （D）

     解答：在中，由正弦定理得：化简得AC=

       ，化简得AB=，

       所以三角形的周长为：3+AC+AB=3++

           =3+  故选D.

【点评】 本题考查了在三角形正弦定理的的运用,以及三角公式恒等变形、化简等知识的运用.

   【例8】 （2006年天津卷）如图，在中，，，．

（1）求的值；

（2）求的值.

解答：（Ⅰ）由余弦定理

（Ⅱ）由，且得

由正弦定理　解得

　　由倍角公式

，故 

【点评】 本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式、正弦定理、余弦定理等基础知识.考查基本运算能力及分析和解决问题的能力.

五、平面向量的工具性应用

【例9】 （2007年四川卷）设、分别是椭圆的左、右焦点.

（Ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值;

（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.

解答：（Ⅰ）解法一：易知

所以，设，则

因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值

当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值

解法二：易知，所以，设，则

（以下同解法一）

（Ⅱ）显然直线不满足题设条件，可设直线，

联立，消去，整理得：

∴

由得：或

又

∴

又

∵，即  ∴

故由①、②得或

【点评】本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力.

  由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使向量与函数、三角函数、解析几何、立体几何之间有着密切联系.在高考中就着重突出了对向量与数学其他分支的结合考查.

    同学们在平时的复习中，需要能熟练地掌握向量语言与其他数学语言之间的等价转化.