1.函数及其表示、初等函数的基本性质，包括定义域，值域（最值），图象，单调性，奇偶性，周期性等．

例1（08年山东卷理4）设函数f(x)＝｜x+1｜+｜x-a｜的图象关于直线x＝1对称，则a的值为（A   ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

(A) 3                (B)2                 (C)1               (D)-1

解析：A  该函数的图象是一个在两侧斜率为的射线，在之间为平行于轴的线段，若要该函数图象关于对称，只需关于对称，，即。

点评：本题考查对带有绝对值的函数的理解和分析问题的能力。实际是带有绝对值的函数是一个分段函数，题目给出的是一个三段的函数，解题的关键是用“零点分区“去掉绝对值后，对各段上函数解析式的认识。

易错指导：对“零点分区”去绝对值的方法认识模糊，不能正确地将函数化为分段函数；缺乏理性思维，不能“想象”出函数图象的大致形状，是一个类似水渠横断面的图形。

例1（08年山东卷文12）已知函数的图象如图所示，则满足的关系是（    ）

A．             B．

C．          D．

解析：A 首先由于函数单调递增，；又，即，所以，故。

点评：本题考查指数函数、对数函数等基础知识，考查分析问题解决问题的能力。解题的关键是根据指数函数、对数函数的性质和所给的图象特征找出所满足的不等关系。

易错指导：不能自觉地利用函数性质，理解错函数图象给出的关系等，是本题出错的主要原因。

2.函数模型及其应用、函数的零点定理

例2．关于的方程，给出下列四个命题：

①．存在实数，使得方程恰有2个不同的实数根；

②．存在实数，使得方程恰有4个不同的实数根；

③．存在实数，使得方程恰有5个不同的实数根；

④．存在实数，使得方程恰有8个不同的实数根；

其中假命题的个数是（    ）

．0    ．1    ．2    ．3

分析：若展开直接求解，问题将复杂化；可根据方程的结构特征，利用换元法化高次为低次，转化为我们熟悉的二次函数模型进行解答．

解：令，则方程可化为，分别作出（如图1）和（如图2）的图象，结合图象可知：当与轴只有一个交点时，即（此时）时，结合图象可知原方程有4个根；当图象下移，此时图象与轴有两个交点且在0和1之间（此时），原方程有8个根；当（即）时，原方程有5个根；当图象继续下移，此时且只能取一个正值，原方程有5个根。故选．

                      图2

点评：在复习时，我们要熟练掌握二次函数、一次函数、指数函数、对数函数、耐克函数的模型；这些模型可以用来解决最值问题、方程问题、抽象函数问题．

易错指导：要特别注意转化的合理性，如上例中要注意换元后新元素的取值范围．

3. 函数性质的刻画与导数的几何意义，以及以此为主要手段的不等式的证明，参数范围的讨论，实际应用等问题．

例3（08年江苏卷8）直线是曲线的一条切线，则实数b＝        ．

解析：  ，令得，故切点（2，ln2），代入直线方程，得，所以b＝ln2－1．

点评：本小题考查导数的几何意义、切线的求法．导数的几何意义是：函数在处的导数值是函数图象过点（）的切线的斜率；曲线上的一点处的切线方程为：．

例4（08年山东卷理21）已知函数，其中，为常数．

（Ⅰ）当时，求函数的极值；

（Ⅱ）当时，证明：对任意的正整数，当时，有．

解析：（Ⅰ）解：由已知得函数的定义域为，当时，，

所以．

（1）      当时，由得，，此时．

当时，，单调递减；当时，，单调递增．

（2）当时，恒成立，所以无极值．

综上所述，时，

当时，在处取得极小值，极小值为；

当时，无极值．

（Ⅱ）证法一：因为，所以．

当为偶数时，令，

则（）．所以当时，单调递增，又，因此恒成立，所以成立．

当为奇数时，

要证，由于，所以只需证，令，则（），所以当时，单调递增，又，所以当时，恒有，即命题成立．

综上所述，结论成立．

证法二：当时，．

当时，对任意的正整数，恒有，

故只需证明．

令，，则，

当时，，故在上单调递增，因此当时，，即成立．故当时，有．即．

点评：本题考查幂函数的导数、对数函数的导数、函数的单调性与极值的关系等基础知识，考查分类讨论、化归转化等数学思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，考查考生分析问题解决问题的能力。本题第一问，是一个中规中矩的常规试题，只要考生基本功扎实，解决起来困难不大；第二问就需要考生有较高的分析问题解决问题的能力了，利用导数证明不等式的基本思路是通过构造函数转化为研究这个函数的单调性和区间端点值或最值问题，在证明过程中，还要进行不等式的放缩（这也体现了山东对考查《不等式选讲》的力度），如果考生缺乏这样的思想意识，不能自觉地朝这个方向思考，要顺利地完成这一问的解答是不可能的。本题能有效地区分不同思维层次的考生，是一道设计十分优秀的试题。

易错指导：第一问中把导数求错，或是不对参数进行讨论是出错的主要原因；第二问中不知道构造函数，或是构造函数后解决问题的思维混乱，不知道用函数的单调性和端点值确立不等关系等是考生失分的主要原因。

例4（08年山东卷文21）设函数，已知和为的极值点．

（Ⅰ）求和的值；

（Ⅱ）讨论的单调性；

（Ⅲ）设，试比较与的大小．

解析：（Ⅰ）因为，

又和为的极值点，所以，

因此解方程组得，．

（Ⅱ）因为，，所以，令，解得，，．因为当时，；当时，．

所以在和上是单调递增的；在和上是单调递减的．

（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，故，

令，则．令，得，因为时，，

所以在上单调递减，故时，；

因为时，，所以在上单调递增，故时，．

所以对任意，恒有，又，因此，

故对任意，恒有．

点评：本题考查导数的有关基础知识，考查方程的思想、等价转化的思想，考查分析问题解决问题能力、运算求解能力。本题的关键突破口是用方程的思想求出系数的值，其中第三问的证明用到构造辅助函数的方法。

易错指导：第一问是本题的入口，也是本题的关键，这一问解错了这个题就算报废了，但由于文科的考试大纲对复合函数的导数不作要求，考生可能在求的导数时无所适从，事实上，并不涉及复合函数的求导，另外函数式较为复杂，运算不准确，也是考生不能正确解答第一问的重要原因；第二问中对式子符号的判断是解题的关键点，对解不等式考试大纲只要求到会解一元二次不等式，而这个不等式与一元二次不等式悬殊较大，考生就不知道利用不等式的基本性质去分析解决，这是容易出错的地方；第三问的关键是会构造辅助函数，并能正确地利用不等式的性质作出分析判断。

4.定积分的概念、性质和运算等问题．

例5（08年山东卷理14）设函数，若，，则的值为        ．

解析：  ，故，即，又，所以，又，所以。

点评：本题所考查的知识点是很多的．首先考查定积分的性质２，其次考查函数求导运算的逆向运算，即找到两个函数使它们的导数分别等于和，这实际上是从更高的层次上考查导数的运算，第三考查微积分基本定理和具体的数值计算能力．这类题目应该说高考考查定积分的一个重要方向．

易错指导：不能正确求出函数被积函数的原函数，对微积分基本定理认识模糊，运算能力薄弱等都是本题出错的原因。

四 扫雷先锋

易错点一：对函数的性质理解不到位（下例是讲解函数的性质的易错点，故需去掉“定义域”）

例1        在R上定义的函数是偶函数，且，若在区间[1，2]上是减函数，则（　　）

A．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数；

B．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数；

C．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数；

D．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数．

错解与剖析：本题容易出错的地方就是在由偶函数的性质得到在区间[－2，－1]上是增函数之后对函数的周期性、对称性、奇偶性吃不准而错选A.事实上本题有常规方法和做图法两种解法，下面只介绍常规方法.

正解：由知函数图象关于直线对称，故在[0，1]上是增函数．

又由是偶函数得，故其周期．

故在上是增函数，在[3，4]上是减函数．选B．

点评：函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性的概念及其应用是高考的常考点．求解时一要把握住其定义性质；二可构造直观模型，借助其图象求解．

易错点二：把判断函数单调性的充分条件当作充要条件

例2 在区间（-∞，4）上是减函数，求a的取值范围.

错解：由在区间（-∞，4）上是减函数得在（-∞，4）上恒成立.解得的取值范围为.

剖析：事实上当时在（-∞，4）上也是减函数．

正解：由在区间（-∞，4）上是减函数得在（-∞，4）上恒成立.解得的取值范围为.

点评：（或）只是函数在区间（a，b）上单调递增（或递减）的充分条件；可导函数在区间（a，b）上单调递增（或递减）的充分条件是：对任意x（a，b）都有（或）且在（a，b）上都不恒为零．利用此充要条件可方面地解决“已知函数的单调性，反过来确定函数解析式中参数的值或范围”问题.

易错点三：在求极值点时把=0的点x=等同于极值点（建议改为“将函数取极值的必要条件，当作充要条件”）

例3 求函数的极值点．

错解：的极值点即是满足=0的点x=.由=0得.所以求函数的极值点为.

剖析：满足=0的点x=只是它为极值点的必要而不充分条件，如果理解为充要条件，从正面看往往产生增解致错.

正解：，令得，但当时，即函数的导数在左右两侧不变号，所以不是函数的极值点，故函数没有极值点．

点评：可导函数在某点的导数值等于零只是该函数在该点取得极值的必要条件，要真正在该点取得极值还得其导数在该点左右变号！本题如不注意这一点，很可能就求出来为该函数的极值的错误结果．

五 规律总结

１．研究函数问题要树立定义域优先的意识，否则解题中极易出错．

２．具备奇偶性的函数的定义域区间一定关于原点对称．奇函数若在处有定义则一定有，偶函数一定有．

3.比较大小是对指数函数、对数函数和幂函数性质考查的常见题型，熟记它们的图像特点并结合0、1比较是解这类题的通法.

4．函数图象的对称性的一些常见结论：

①若，对恒成立，则关于对称；

②若，对恒成立，则关于点对称；

③函数与的图象关于直线对称.

5．函数图像的平移：把的图像向左平移a（a>0）个单位，再向上平移b(b>0)个单位得到的图象，简记为“上加下减，左加右减”.

6．函数在某点可导必在该点连续；反过来连续函数不一定可导.

7.函数取得极值的充要条件：定义域上的可导函数在处取得极值的充要条件是，并且在两侧异号．只是可导函数在处取得极值的必要条件，即必须有这个条件，但只有这个条件还不够，还得在两侧异号，这一点我们要充分重视．

8.单调性：（１）在某个区间（）上，若,则在这个区间上单调递增；若,则在这个区间上单调递减；若恒成立,则在这个区间上为常数函数；若的符号不确定,则不是单调函数；（２）若函数在区间（）上单调递增，则，反之等号不成立，因为即或，当时函数在区间（）上单调递增，当时在这个区间内为常数函数；同理．若函数在区间（）上单调递减，则，反之等号不成立；（３）使的离散的点不影响函数的单调性．

9.求曲线的切线方程时，要明确是曲线上某点处的切线（仅有一条），还是过某点的切线（可能不止一条）．

10.用导数解决与正整数有关的问题时，不能直接对求导，要把正整数放到连续的正实数区间里面去，然后再用导数去解决．

11.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数；奇函数在区间上的定积分等于，偶函数在区间上的定积分等于它在区间或上定积分的两倍．

六 能力突破

例１若函数满足, 且时,函数，则函数在区间内零点的个数为 (    )

A．          B．          C．       D．

本题简介：考查函数零点的概念以及综合应用数学知识的能力和数形结合的意识．

解析：当时，结合图象知共有个交点，故在区间上共有个交点；当时结合图象知共有个交点．故函数在区间共有零点个．如图．

反思：我们要求的实际上就是函数和在区间上交点的个数．由于函数和函数都是偶函数，我们只要考查它们在区间和在区间上交点的个数即可．由函数的周期性，结合图象就可解决．

例2 如右图，阴影部分的面积是（    ）

       A．                  B．             

       C．                    D．

本题简介：本题考查定积分的简单应用．

解析：阴影部分的面积为：．

反思：所求的阴影部分的面积实际上就是在区间上的定积分．微积分基本定理是课标高考理科应注意的内容．

例3 设函数，若函数的最大值是M，最小值是m，则________.

本题简介：本题是一道自编题，主要考查学生对函数性质的理解与掌握以及分析问题解决问题的能力.

解析：令，易求得，所以是奇函数，所以的最大值与最小值之和是0，从而的最大值与最小值之和是6.

反思：面对此题若不假思索就对求导.理科学生，求导得，无法找到极值点，而文科学生不会对这个函数求导.因此，须从考查函数的性质下手.

例4已知函数．

（1）若函数在上为增函数，求正实数的取值范围；

（2）当时，求在上的最大值和最小值；

（3）当时，求证对大于的任意正整数，．

本题简介：本题考查函数导数不等式以及分析问题解决问题的能力．

解析：（1）由已知：，依题意得：对恒成立，

     ∴对恒成立，即对恒成立，，即．.

（２）当时，，在，若，则，若则，故是函数在区间上的唯一的极小值点，也就是最小值点，故；

， 因为，所以，即，即函数在区间上最大值是．综上知函数在区间上最大值是，最小值是．

（３）当时，由（１）知，函数在上为增函数．

当时令，则，故，　　　　　

即，即．　

故，，…………，，

相加得，

而，

即．

反思：函数在指定的区间上单调递增，则其导函数在这个区间上大于或等于零，但要注意的是只能在一些离散的点上等于零，而不能恒等于零，单调递减的情况同样处理；闭区间上的函数最值是导数应用的重要方面，其基本思想是求出函数在这个闭区间上的极值和端点值，再比较大小，最大的是最大值，最小的是最小值；将函数导数不等式综合起来进行考查是近年来高考命题的一大趋势，这类题目蕴涵着丰富的数学思想方法，我们在复习备考中要充分重视．

七 高考风向标

考查方向一：以函数为依托的小综合题，考查函数、导数的基础知识和基本方法.近年的高考命题中的选择填空题，在内容上日趋综合化，在解题方法上日趋多样化.

例1 （08年高考广东卷理7）设，若函数，有大于零的极值点，则（   ）

A．           B．           C．          D．

解析：B ，函数有大于零的极值点等价于方程有大于零的实数根，方程显然不成立，当时，解得，首先，若要，必须，即，即。

点评：本题考查导数、函数、方程的有关知识，考查等价转化分类讨论的数学思想以及分析问题解决问题的能力，是试卷中一个以能力考查为主的试题。解决本题的关键是用表示出，通过建立关于参数的不等式，这也是解决参数范围问题的一个通用方法，值得仔细体会。

易错指导：对简单的复合函数的求导法则不熟悉，不能正确地求出函数的导数（考试大纲明确规定要掌握形如的复合函数的求导），或是缺乏等价转化的思想意识，不能将其归结为一个方程有正根，或是对指数对数等知识上的细微漏洞都可能解错本题，这也说明我们在高考复习中要高度重视基础知识，重视数学思想方法。

例1 （08年高考广东卷文9）设，若函数，有大于零的极值点，则（    ）

A．           B．           C．          D．

解析：A ，函数，有大于零的极值点等价于方程有大于零的实数根，从方程解得，即，即，即。或者，当时，，从而。

点评：本题考查导数的简单应用，解题的有关键是转化意识，将函数有大于零的极值点转化为方程有大于零的实数根。

易错指导：对指数函数的性质认识模糊，不能正确判断时函数的值域。

例2（08年高考全国卷Ⅱ理3文4）函数的图像关于（    ）

A．轴对称              B． 直线对称 

C． 坐标原点对称     D． 直线对称

解析：C 是奇函数，所以图象关于原点对称.

点评：本题考查函数奇偶性的性质.

考查方向二：求参数范围以及与方程、不等式、数列等的结合――高考中函数导数解答题的主流题型．

例3（08年高考海南、宁夏卷理21）设函数，曲线在点处的切线方程为。

（1）求的解析式；

（2）证明：曲线的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；

（3）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围三角形的面积为定值，并求出此定值。

解析：（Ⅰ），于是解得或

因，故．

（Ⅱ）已知函数，都是奇函数．

所以函数也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形．

而．

可知，函数的图像按向量平移，即得到函数的图像，故函数的图像是以点为中心的中心对称图形．

（Ⅲ）证明：在曲线上任取一点．

由知，过此点的切线方程为．

令得，切线与直线交点为．

令得，切线与直线交点为．

直线与直线的交点为．

从而所围三角形的面积为．

所以，所围三角形的面积为定值．

点评：本题导数的几何意义、待定系数法，等价转化、数形结合的数学思想，推理论证、运算求解能力和分析问题解决问题的能力。本题的难点是第三问，解决的突破口是用曲线上切点的横坐标表示出曲线的切线方程，通过方程组找用切点的横坐标所表示的三角形三个顶点的坐标，由于这个三角形的一条边和轴垂直，从而用切点的横坐标表示出三角形的面积，通过运算得到所证明的结论。在解决一般曲线的切线问题时，切点的横坐标往往是问题的关键所在。

易错指导：第一问易忽视的限制条件；第二问表达混乱，或是不能通过转化找到证明的思路；第三问计算出错。

例3（08年高考海南、宁夏卷文21）设函数，曲线在点处的切线方程为．

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值．

解析：（Ⅰ）方程可化为．当时，．又，

于是解得，故．

（Ⅱ）设为曲线上任一点，由知曲线在点处的切线方程为

，即．

令得，从而得切线与直线的交点坐标为．

令得，从而得切线与直线的交点坐标为．

所以点处的切线与直线，所围成的三角形面积为．

故曲线上任一点处的切线与直线，所围成的三角形的面积为定值，此定值为．

点评：本题考查导数的几何意义，曲线的切线，待定系数法，推理论证与运算求解能力．本题的难点是第二问，解决的关键是用曲线上任意一点的横坐标表示出曲线的切线方程，进而用这个横坐标表示出三角形的面积，然后通过运算得到所证结论．

易错指导：第一问易将的导数求错；第二问不知道用切点坐标表示切线方程，或是忽视了绝对值等。

考查方向三：考查分析问题和解决问题的能力.利用导数求最大值和最小值的方法解决科技、经济、社会中的某些简单的优化问题，正确列出函数关系式是解决这类问题的首要问题.

例4（08年高考江苏卷17）如图，某地有三家工厂，分别位于矩形的顶点及的中点处，已知，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形的区域上（含边界），且与等距离的一点处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道，设排污管道的总长为

（1）按下列要求建立函数关系式：

①设，将表示为的函数；

②设，将表示为的函数关。

（2）请你选用（1）中的一个函数关系，确定污水处理厂的位置，使铺设的排污管道的总长度最短。

解析：（1）①延长交于点，由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=θ(rad)，则，故.

又，所以.

所求函数关系式为.

②若OP=x(km)，则OQ=10-x，所以

所求函数关系式为。

（2）选择函数模型①

.,令得.

当时，y是θ的减函数；当时，y是θ的增函数。所以函数在处取得极小值，这个极小值就是函数在的最小值，。

当时，。因此，当污水处理厂建在矩形区域内且到两点的距离均为时，铺设的排污管道的总长度最短。

选用函数模型②

，令则，平方得，解得，由于，故，并且可以判断这个是函数的最小值点，此时，下面对实际问题的解释类似上面的解法。

点评：本题考查函数的概念、解三角形、导数等基本知识，考查数学建模能力、抽象概括能力和解决实际问题的能力。命题者匠心独具地把对同一个问题让考生用不同的变量建立数学模型，而在接下来的第二问中又要求考生选用所建立的两个函数模型中的一个来解决优化问题，这就要求考生有对数学模型较高的鉴赏能力，选用的模型不同，其简繁程度就不同，使考生在比较鉴别中体会数学的美学价值，是一道值得称道的优秀试题。

易错指导：本题第一问，考生往往忽略函数的定义域，导致失分；第二问考生往往不能选择合适的函数解析式，特别是第一个函数解析式带有三角函数，产生畏惧心理，从而选择第二个解析式，对第二个函数解析式，由于考试大纲中对复合函数的导数只要求到型的，对这个函数求导数又有可能出现错误，即使是求导正确，在接下来的具体求解过程中，运算也有可能出现问题。因此考生在备考时要学会比较鉴别。

八、实战演习

１．已知是偶函数，则的最大值是　　　（      ）

A.  　B.     C.  　　 D.

2．（理）点P在曲线上移动，在点P处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（    ）．

A．；         B．；    C． ；       D．．

2．(文)已知直线是的切线，则的值是（     ）．

A．；                   B．；              C．；                  D．．

３．定义在上的函数，满足，且在区间上递增，则（   ）

  A．             B．   

C．             D．

４．已知，若实数,当，则下列正确的是        （    ）

  A．     B．

    C．     D．

５．已知，，则    (     )

A.   B.   C.   D.

６.（理）做直线运动的质点在任意位置处，所受的力，则质点沿着相同的方向，从点处运动到点处，力所做的功是　　　（　　　）

Ａ．　Ｂ．　　Ｃ．　　　Ｄ．

6.（文）做直线运动的质点的运动方程是，则该质点在时的瞬时速度是　　（　　）

Ａ．　Ｂ．　　Ｃ．　Ｄ．

７．下列大小关系正确的是（    ）

A．          B．

C．          D．

8．已知在区间[1，2]上是增函数，则的取值范围是(　 A　)．A

A．(－∞，7)；       B．；          C．（7，20）；       D．．

９．点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为　（   ）．   

　　　A.               B.              C.            D.

１０．（理）已知函数则

    A．              B．       C．             D．

１０.（文）曲线在点处的切线方程是　　（　　　　）

Ａ．　　Ｂ．　Ｃ．　　Ｄ．

１１．下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是

A．                       B．

C．     D．

12．设函数，则的值为（     ）．

A．－3；              B．0；                C．1；                D．3．

13．定义在（－1，1）上的函数为，则不等式的解集是               ．

14．已知定义在R上的函数满足，，且．若，则的值为___________________．

１５．（理）直线平分由，，所围成的图形的面积，则　　　　　．

１５.（文）曲线在点处的切线和两坐标轴所围成的图形的面积是　　　　　　　．

１６．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，令，则关于函数有下列命题：①的图象关于原点对称；②的图象关于轴对称；③的最小值为；④在区间上是单调递增．其中正确命题的序号是        ．

17.（本小题满分12分）设函数定义在上，对于任意实数，恒有，且当时，． 

（1）求证：在上是减函数；

（2）解不等式．

１８．（本小题满分12分）求函数的切线与坐标轴围成的三角形面积的最大值.

１９．本小题满分1２分）已知函数,其中.

(1)设在和处取得极值,其中,求证: ；

 (２)若,求证:过原点且与曲线相切的两条直线不可能垂直．

20．（本小题满分12分）设函数

   （１）若存在使不等式能成立，求实数的最小值；

   （２）关于的方程在上恰有两个相异实根，求实数的取值范围．

21.（改编题）已知函数在处取得极值2.

⑴ 求函数的解析式；

⑵ 若函数在区间上是单调函数，求实数m的取值范围；

⑶ 若为图像上的任意一点，直线l与图像切于点P，求直线l的斜率的取值范围.

２２．（本小题满分14分）已知函数

（１）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；

（２）当时，求函数在上的最大，最小值；

（３）当时，对任意的正整数，比较与的大小．

答案

一　选择题

１．B 提示:∵是偶函数，

∴，即，

∴∴，最大值.故选B.

2．B．提示：切线的斜率，故其倾斜角的取值范围是．选B．

2．（文）C     提示：由知切线过点，故．∴．选C．

３．Ａ提示:由.故函数在区间单调递增,又,故.故选A.

４．D提示:函数是上的减函数,由得,故,同理.相加得.故选D.

５．D提示:.故.故选D.

６．Ｂ提示:由．故选Ｂ．

６．（文）Ｃ提示:速度方程为，．故选Ｃ．

７．Ｄ提示:由幂函数的性质，由指数函数知，故选Ｄ．

8．B．提示：由题设知在[1，2]上不小于零，而在[1，2]上是增函数，故．选B．

９．Ｂ提示:得，解得，设去了．故切点坐标为，由点到直线的距离公式得．故选Ｂ．

１０．Ｄ提示:，

故，．故选Ｄ．

１０（文）Ａ提示:，曲线在点处的切线的斜率为．故切线方程为．

故选Ａ．

１１．Ａ提示:Ａ中，又的定义域为，，其中在递减，故在递减．故选Ａ．

12．A．提示：，选A．

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

二　、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

13．．

提示：由知在（－1，1）上是增函数，且为奇函数．

于是原不等式为．等价于  解得．

14．4．

提示：由和得；由．

又，∴．

此题亦可构造满足条件的函数，则．

１５．提示:由于，即，解得．

１５．（文）提示:，故曲线在点处的切线的斜率是，切线方程是，解得与坐标轴的交点是和，故所围图形的面积为．

１６．②④提示:函数．．故知只有②④．

三　、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．解（1）令得．∵，∴．

又，若，则．由知．

故对任意的，都有．

设，则，．

∴

．

即，故在上是减函数．

（2）原不等式等价于．

又是减函数，∴．解得．故原不等式的解集为．

１８．解：∵过函数图象上任意一点的切线方程是，…………3分

_∴切线在轴和轴上的截距分别为，.

∴切线与坐标轴围成的三角形面积.……………………5分

，由得.………………………………8分

当时，，为增函数；当时，，为减函数.

，，

所以函数的切线与坐标轴围成的三角形面积的最大值为.…12分

１９．解：(1),

∴的两根为,　　　…………３分

令,∵,∴,

故有．………………６分

 (２)过曲线上的点的切线的斜率是，

当时,切线的斜率；…………７分

当时, ，解得，∴切线斜率.…………９分

∵,∴,∴

∴

∴,故过原点且与曲线相切的两条直线不可能垂直．……１２分

20．解：（１）依题意得，…………２分

    ，…………３分

当时，故在区间上单调递增，

所以．故，即实数的最小值是．…………6分

   （２）依题意得，在上恰有两个相异实根，

    令，则，……８分

当时，当时，故在上是减函数，在上是增函数，故． ，，因为，所以只要，即可以使方程在上恰有两个相异实根．即 …………………………12分

21.解：⑴ 求导，又在处取得极值2，所以，即，解得，所以；

⑵ 因为，又的定义域是R，所以由，得，又在上连续，所以在上单调递增，在上单调递减，当在区间上单调递增，则有，得，当在区间上单调递减，则有或，得.综上所述，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减；

⑶ 直线l在点处的切线的斜率，令，则，所以，因为，所以.

22．解：（１）当时，，若函数在上单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立，即．　　（4分）

（２）当时，，令得，当时，当时，故是函数在上唯一的极小值点，故．　　　　　　　　　（6分）

又，，故．（8分）

（３）令，则，（10分）

当时，，，故在上恒成立，即函数在单调递增，故，　　　　　（１3分）

取，则，故有．　　　　　　（１4分）

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