寒假作业江西科学技术出版社中职一年级
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2. 已知二次函数的图象与$ x $轴交点的横坐标是1，5，顶点的纵坐标是4，求这个二次函数的解析式.
答案：$ y=-(x - 3)^2 + 4 $（或$ y=-x^2 + 6x - 5 $）
设交点式$ y=a(x - 1)(x - 5) $，对称轴$ x=\frac{1 + 5}{2}=3 $，顶点$ (3,4) $，代入得$ 4=a(3 - 1)(3 - 5) $，$ 4=a×2×(-2) $，$ a=-1 $，所以$ y=-(x - 1)(x - 5)=-(x^2 - 6x + 5)=-x^2 + 6x - 5 $。
3. 已知二次函数$ y=f(x) $在区间$ (-∞,2] $上是增函数，在区间$ [2,+∞) $上是减函数，图象的顶点在直线$ y=x - 1 $上，且经过定点$ (0,-3) $，求二次函数$ y=f(x) $的解析式.
答案：$ y=-x^2 + 4x - 3 $
由单调性知对称轴$ x=2 $，顶点在$ y=x - 1 $上，所以顶点$ (2,1) $，设$ f(x)=a(x - 2)^2 + 1 $，代入$ (0,-3) $得$ -3=a(0 - 2)^2 + 1 $，$ 4a=-4 $，$ a=-1 $，所以$ f(x)=-(x - 2)^2 + 1=-x^2 + 4x - 3 $。
