寒假作业江西科学技术出版社中职一年级
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三、解答题（本大题共8小题，共70分）
1.（7分）证明：函数$f(x)=\frac {1}{2x}-1$在区间(-∞,0)上是减函数．
答案：证明：任取x₁,x₂∈(-∞,0)，且x₁＜x₂。
f(x₁)-f(x₂)=(\frac {1}{2x₁}-1)-(\frac {1}{2x₂}-1)=\frac {1}{2x₁}-\frac {1}{2x₂}=\frac {x₂ - x₁}{2x₁x₂}。
因为x₁＜x₂＜0，所以x₂ - x₁＞0，x₁x₂＞0，所以f(x₁)-f(x₂)＞0，即f(x₁)＞f(x₂)，所以函数f(x)在(-∞,0)上是减函数。
3.（8分）判断下列函数的奇偶性。
$(1)f(x)=\frac {1}{x²}$；
(2)f(x)=-3x + 1。
答案：(1)定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，关于原点对称。$f(-x)=\frac {1}{(-x)²}=\frac {1}{x²}=f(x)$，所以是偶函数。
(2)定义域为R，f(-x)=3x + 1，-f(x)=3x - 1，f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x)，所以是非奇非偶函数。
4.（9分）某花园由一面墙和AD，DC，CB三段篱笆围成，篱笆总长为16 m，如图所示，其中四边形ABCD是矩形，DC是半圆弧，O为半圆的圆心，设OC=x m，|AD|=y m。
(1)将y表示为x的函数。
(2)当x为何值时，矩形ABCD的面积最大？请求出最大值。
答案：(1)DC是半圆弧，半径为x，所以半圆弧长为πx。AD=BC=y，篱笆总长AD + DC（半圆弧） + CB=2y + πx=16，所以$y=\frac {16 - πx}{2}=8 - \frac {π}{2}x$，定义域0＜x＜\frac {16}{π}。
(2)矩形ABCD面积$S=AD·AB= y·2x=2x(8 - \frac {π}{2}x)=16x - πx²$。
S=-πx² + 16x，对称轴$x=-\frac {16}{2(-π)}=\frac {8}{π}$。
当$x=\frac {8}{π}$时，$Smax=-π(\frac {8}{π})² + 16·\frac {8}{π}=\frac {64}{π} m²$。
