即

    ①             ②

，       

2    =2

即+=4－    得……………11分

将其代入方程①得      

因为曲线的横坐标范围为，所以这样的直线不存在。……………13分

59、(湖北省鄂州市2008年高考模拟)已知椭圆的左、右焦点分别是F₁（－c，0）、F₂（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F₁Q与该椭圆的交点，点T在线段F₂Q上，并且满足

   （Ⅰ）设为点P的横坐标，证明；

   （Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；

   （Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F₁MF₂的面积S=若存在，求∠F₁MF₂的正切值；若不存在，请说明理由．

解 （Ⅰ）设点P的坐标为（x,y）,由P（x,y）在椭圆上，得

又由知，

所以

   （Ⅱ） 当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上．

当且时，由，得．

又，所以T为线段F₂Q的中点．

在△QF₁F₂中，，所以有

综上所述，点T的轨迹C的方程是

（Ⅲ） C上存在点M（）使S=的充要条件是

由③得，由④得  所以，当时，存在点M，使S=；

当时，不存在满足条件的点M．

当时，，

由，

，

，得

【总结点评】平面向量与椭圆的综合问题是《考试大纲》所

强调的问题，应熟练掌握其解题技巧，一般地，在这类问题

种，平面向量只起“背景”或“结论”的作用，几乎都不会

在向量的知识上设置障碍，所考查的核心内容仍然是解析几

何的基本方法和基本思想，比如本题（Ⅰ）本质是焦半径公

式，核心内容还是椭圆的第二定义的转化思想．（Ⅱ） 由

“PT其实为线段QF₂的垂直平分线”可联想到下面的题目：如右图，Q为长轴为2a椭圆上一动点，QP是∠F₁QF₂的外角平分线，且F₁P⊥QP，延长F₂Q，使F₂Q与F₁P交于点M，则|QF₁|=|QM|，所以点M的轨迹是以F₂为圆心2a为半径的圆，进一步可得到P的轨迹是以O为圆心a为半径的圆．

60、(湖北省黄冈市麻城博达学校2008届三月综合测试)已知直线相交于A、B两点，M是线段AB上的一点，，且点M在直线上.

   （Ⅰ）求椭圆的离心率；

   （Ⅱ）若椭圆的焦点关于直线l的对称点在单位圆上，求椭圆的方程.

解：（Ⅰ）由知M是AB的中点，

设A、B两点的坐标分别为

由

，

∴M点的坐标为                                 4分

又M点的直线l上：

                                                  7分

   （Ⅱ）由（Ⅰ）知，不妨设椭圆的一个焦点坐标为关于直线l：

上的对称点为，

则有                       10分

由已知

，∴所求的椭圆的方程为                 12分

61、(湖北省黄冈市2007年秋季高三年级期末考试)在△ABC中，B是椭圆在x轴上方的顶点，是双曲线位于x轴下方的准线，当AC在直线上运动时。

(1)求△ABC外接圆的圆心P的轨迹E的方程；

(2)过定点作互相垂直的直线，分别交轨迹E于M、N和R、Q，求四边形MRNQ面积的最小值。

解：（1）由椭圆方程及双曲线方程可得点直线方程是

   且在直线上运动。

   可设

   则的垂直平分线方程为                            ①

   的垂直平分线方程为          ②

P是△ABC的外接圆圆心，点P的坐标满足方程①和②

由①和②联立消去得

故圆心P的轨迹E的方程为

(2)由图可知，直线和的斜率存在且不为零，设的方程为，

，的方程为

由         得

  △=直线与轨迹E交于两点。

设，则。

同理可得：四边形MRNQ的面积

当且仅当，即时，等号成立。

故四边形MNRQ的面积的最小值为72。（13分）

62、(湖北省荆门市2008届上期末)已知F₁、F₂为双曲线C：的左、右焦点，O为坐标原点，P在双曲线的左支上，点M在右准线上，且满足：，（λ＞0）

   （1）求此双曲线的离心率；

   （2）若过点N（，）的双曲线C的虚轴端点分别为B₁、B₂（B₁在y轴正半轴上），点A、B在双曲线上，且，，求双曲线C和直线AB的方程.

解：（1）法一：依题意四边形OF₁PM为菱形，设P（x，y）则F₁（－c，0），M（，y）

    代入得

       化简得e＝2                    ……………4分

法二：OF₁PM为平行四边形，

又（λ＞0）知P在的角平分线上

∴四边形OF₁PM为菱形，且边长为，∴   ………4分

由第二定义知即  又

   （2）∴双曲线C的方程为 ……………8分

   ∵∴过B₂的直线交曲线C于A、B两点，且

    设直线AB：代入得

    设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）由 

    ∴直线AB的方程为

63、(湖北省荆州市2008届高中毕业班质量检测)如图，已知为平面上的两个定点，为动点，，且，（是和的交点）

⑴建立适当的平面直角坐标系求出点的轨迹方程；

⑵若点的轨迹上存在两个不同的点，且线段的中垂线与（或的延长线）相交于一点，证明：（为的中点）

解：⑴如图1，以所在的直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系

由题设

，而

点是以为焦点、长轴长为的椭圆，故点的轨迹方程为          （6分）

⑵如图2，设，，且，

即，又在轨迹上，

即

代入整理得：

，                                                  （10分）

≤≤，≤≤，≤≤

，

，即。

64、(湖北省随州市2008年高三五月模拟)已知方向向量为的直线过点和椭圆的焦点，且椭圆的中心和椭圆的右准线上的点满足：。

⑴求椭圆的方程；

⑵设为椭圆上任一点，过焦点的弦分别为,设，求的值。

65、(湖北省武汉市武昌区2008届高中毕业生元月调研测试)已知圆A：，圆B：，动圆P与圆A、圆B均外切，直线的方程为x＝a(a≤).

（Ⅰ） 求动圆P的圆心的轨迹C的方程；

（Ⅱ）过点B的直线与曲线C交于M、N两点，（1）求｜MN｜的最小值；（2）若MN的中点R在上的射影Q满足MQ⊥NQ，求的取值范围.

解：（Ⅰ）设动圆P的半径为，则│PA│＝，│PB│=,

∴│PA│－│PB│=2.                   

 故点P的轨迹是以A、B为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，

其方程为（≥1）.          ………………………………………3分

（Ⅱ）(1)设MN的方程为，代入双曲线方程，得

.

由，解得.  ………………………………………5分

设,则

.

当时,.               ………………………………………7分

(2)由（1）知 ，.

由,知.

所以，从而.

由,得.           ………………………………………13分

另解：

 (1)若MN的斜率存在，设斜率为，则直线MN的方程为，代入双曲线方程,得.

由  解得.       …………………………………5分

设,则

＝││＝6＋.

当直线斜率不存在时，＝2，得＝3，＝－3.此时＝6.

所以＝6.                   ……………………………………………7分

(2)当MQ⊥NQ时，│RQ│＝＝.①  

又＝＝2，即＝2 ，

所以│MN│＝， 故.  ② 

将②代入①，得│MN│＝2－.

由│MN│＝2－,得≤－1.        ………………………………………13分

66、(湖南省十二校2008届高三第一次联考)已知抛物线x²＝4y上的点P(非原点)处切线与x、y轴分别交于Q、R点，F为抛物线的焦点。

（Ⅰ）

（Ⅱ）若抛物线上的点面积的最小值，并写出此时过P点的切线方程。

解：（Ⅰ）设

令

。

（Ⅱ）知 

=

显然只需考查函数

     时，也取得最小值 。

     故此时过P点的切线PR的方程为：

67、(湖南省十二校2008届高三第一次联考)如图，ABCD是边长为2的正方形纸片，沿某动直线为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B都落在边AD上，记为；折痕与AB交于点E，点M满足关系式。若以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系（如下图）：

    （Ⅰ）．求点M的轨迹方程；

    （Ⅱ）．若曲线S是由点M的轨迹及其关于边AB对称的曲线组成的，等腰梯形的三边分别与曲线S切于点.求梯形面积的最小值.

解：（1）如图，设M（x,y），，又E（0，b）

显然直线l的斜率存在，故不妨设直线l的方程为y=kx+b,,则

而的中点在直线l上，

故，①

由于代入①即得，又

点M的轨迹方程（）-------------6分

（2）易知曲线S的方程为

设梯形的面积为，点P的坐标为.

        由题意得，点的坐标为，直线的方程为.

      直线的方程为

即：

        令  得，

令  得，

当且仅当，即时，取“=”且，

  时，有最小值为.

梯形的面积的最小值为----------13分

68、(湖南省长沙市一中2008届高三第六次月考)已知圆M：（x+）²+y²=36及定点N（，0），点P是圆M上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足.

（1）求点G的轨迹C的方程.

（2）过点K（2，0）作直线l，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设，是否存在这样的直线，使四边形OASB的对角线相等？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

解：（1）为PN的中点，且GQ是PN的中垂线.

∴

又

∴点G的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，

∴的轨迹方程是……………………………………（5分）

（2）四边形OASB为平行四边形，假设存在直线，使；则四边形OASB为矩形.

若直线的斜率不存在，则的方程为.

，这与=0矛盾，故的斜率存在.………………………（7分）

设直线的方程为、.

     ………………………（9分）

又………………………（12分）

∴存在直线满足条件. ……………………（13分）

69、(湖南省雅礼中学2008年高三年级第六次月考)在平面直角坐标系中，已知，若实数使得（为坐标原点）

（I）求点的轨迹方程，并讨论点的轨迹类型；

（Ⅱ）当时，若过点的直线（斜率不等于零）与（I）中点的轨迹交于不同的两点E、F（E在B、F之间），试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围.

解：（I）由已知可得．

                                                     5分

即P点的轨迹方程是                        7分．

当 P点的轨迹是两个点．         9分

，即时，方程为 P点的轨迹是双曲线．                                                                 11分

，即时，方程为, P点的轨迹是两条射线．        13分

70、(湖南省岳阳市2008届高三第一次模拟)已知直线l: y＝2x－与椭圆C:＋y²＝ 1 (a＞1)交于P、Q两点, 以PQ为直径的圆过椭圆C的右顶点A.

(1) 设PQ中点M(x₀,y₀), 求证: x₀＜

(2)求椭圆C的方程.

解: (1)设直线l: y＝2x－与椭圆C: ＋y²＝ 1 (a＞1)交于P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂), 右顶点A(a,0), 将y＝2x－代入x²＋a²y²－a²＝0中整理得(4a²＋1)x²－4a²x＋2a²＝0

∵M(x₀,y₀)为PQ中点 ∴x₀＝ ＝  ＝ － 故x₀＜

(2)依题意: ?＝0, 则(x₁－a)(x₂－a)＋y₁y₂＝0 又y₁＝2x₁－, y₂＝2x₂－

故 (x₁－a)(x₂－a)＋(2x₁－)(2x₂－)＝0 由①②代入③ 得: 4a⁴－4a³－a²＋3＝0

∴(a－)(4a²－a－)＝0 ∵a＞1, 则4a²－a－＞0  故a＝

故所椭圆方程为 ＋ y²＝1

71、(湖南省株洲市2008届高三第二次质检)已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。过点F的直线交椭圆于A、B两点．

  （1）若直线的倾斜角，求；

  （2）求弦AB的中点M的轨迹；

  （3）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，

线段AB的垂直平分线与轴交于点G，求点G横坐标的取值范围．

解：（1）直线方程为与联立得

                 …………………4分

（2）设弦AB的中点M的坐标为依题意有

 所以弦AB的中点M的轨迹是以为中心，焦点在轴上，长轴长为1，短轴长为的椭圆。                                                               …………………8分

（3）设直线AB的方程为

    代入整理得

    直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根。

    记中点   则

    的垂直平分线NG的方程为 令得

    点G横坐标的取值范围为                       …………………13分

72、(吉林省吉林市2008届上期末)抛物线C的方程为，作斜率为的两条直线，分别交抛物线C于A两点（P、A、B三点互不相同），且满足

   （1）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；

   （2）设直线AB上一点M满足证明：线段PM的中点在y轴上；

   （3）当时，若点P的坐标为（1，―1），求∠PAB为钝角时，点A的纵坐标的取

值范围.

解：（1）由抛物线C的方程得，

焦点坐标为 ……………………………………2分

   （2）设直线PA的方程为